算法分析 - 渐近分析

Question

您好，我已经开始学习算法分析了。在这里，我对渐近分析有疑问。 假设我有一个函数 f(n) = 5n^3 + 2n^2 + 23。 现在我需要为上述函数找到 Big-Oh、Big-Omega 和 Theta 符号，

Big-Oh: 
    f(n) <= (5 + 2 + 23) n^3  // raising all the n's to the power of 3 will give us a value which will be always greater than f(n)
    f(n) <= 30n^3
    f(n) belongs to Big-Oh(n^3)

Big-Omega:
    n^3 <= f(n)
    f(n) belongs to Big-Omega(n^3)

Theta: 
    n^3 <= f(n) <= 30 n^3 
    f(n) belongs to Theta ( n^3)
So here, 
    f(n) belongs to Big-Oh(n^3)
    f(n) belongs to Big-Omega(n^3)
    f(n) belongs to Theta(n^3)

对于任何多项式，就像这样，Oh、Omega 和 Theta 表示法的增长顺序是相同的（在我们的例子中是 n^3 的顺序）。 当所有符号的增长顺序都相同时，那么用不同的符号显示它们有什么用以及确切的位置 可以用吗？如果可能的话，请给我一个实际的例子。

Answer 1

Big theta (Θ) 是当我们的 上限 (O) 和 下限 (Ω) 相同时，换句话说，它是一个紧密的界限。这是同时显示 O 和 Ω（或者同时显示三个）的原因之一。

为什么这很有用？因为 Θ 是一个 紧束缚 - 它比 O 强得多。使用 O 你可以说上面是 O(n^1000) 并且你在技术上仍然是正确的。很多时候 O != Ω 而你没有那么紧的界限。

那么为什么我们通常谈论O呢？好吧，因为在大多数情况下，我们对算法的上限（最坏情况的）感兴趣。有时我们根本不知道 Θ，而是使用 O。同样重要的是要注意，许多人只是滥用这些符号，不完全理解它们和/或根本不够精确，并在可能出现 Θ 的地方使用 O用过。

例如，快速排序没有严格限制（除非我们专门讨论最佳/平均或最坏情况分析），因为它在最佳和平均情况下为 Ω(nlogn)，但在最坏情况下为 O(n^2)案子。另一方面，归并排序既是Ω（nlogn）又是O（nlogn），因此它也是Θ（nlogn）。

总而言之，这都是理论上的，因为在实践中快速排序在大多数情况下更快，因为您通常不会遇到最坏的情况，并且快速排序完成的操作更容易。

Answer 2

在您给出的示例中，执行时间是已知的并且似乎是固定的。所以它在 O(n^3), Ω(n^3) 中，因此在所有情况下都在 Θ(n^3) 中。

但是，对于算法，执行时间可能（而且并非很少）取决于运行算法的输入。

例如：在最坏的情况下搜索链表中的键需要遍历所有列表成员，这是线性时间。 在最好的情况下，您当时正在寻找的关键是在列表的最开始，这是恒定的时间。 所以算法在 O(n) 和 Ω(1)=O(1) 中。没有有效的 f(n) 来指定该算法的 Θ(f(n))。

Answer 3

以上函数运行时间可以通过以下方式计算

• 是 omega 和 n 的大 o 吗？ 5n^3+2n^2+23 >=cn 5n^2+2n+23/n >= c 随着 n 的增长并且趋于无限 这样的常数 c 可以存在小于或等于 到不等式的左侧，所以函数运行 时间是 n 的欧米茄。 5n^2+2n+23/n
• 是 omega 和 n ^3 的 Big o 吗？ 5n^3+2n^2+23 >=cn^3 5 + 2/n + 23/n^3 >=c 这个不等式成立所以它是 n^3的欧米茄。 5 + 2/n + 23/n^3