递推关系的渐近分析

Question

我有一个对未知算法的运行时间进行建模的递归关系，我需要找到该算法运行时间的下限，或者同时找到上限和下限。

请原谅粗略的格式化； Latex-to-image 解析器我奇怪地使用了数字方程：每个方程的数字在数字所指标记的下方和左侧。

等式（1）和（2）是递归关系的一部分。

要从等式 (2) 到 (3)，写出递归的几次迭代并观察形成的模式 - 然后使用新变量 k 对其进行概括。

请注意，当等式 (4) 为真时，递归停止。

将式(4)代入式(3)得到式(5)。另外，使用对数换底公式来获得所有以二为底的对数。

从等式 (5) 到等式 (6)，我尝试从 Big-oh 分析的角度对等式 (5) 进行一些观察。但坦率地说，这最后一步只是我的猜测。

假设方程 (5)为，我将如何表达方程 (5) 的 theta、omega 或 oh，以及——最重要的是——如何证明它？ p>

我的想法是——我们有兴趣了解等式 (5) 的行为，因为 n 变得非常非常大。但是等式（5）在 n 接近无穷大时的极限涉及负数的对数，这是一个死胡同，而且可能是错误的。

感谢任何帮助。

Answer 1

从指数到对数的转换是错误的。肯定存在一些 k 使得

(10/9)^k <= n <= (10/9)^(k+1).

应用二元对数

k*log2(10/9) <= log2(n) <= (k+1)*log2(10/9)

可以转换为 k 的边界

log2(n)/log2(10/9) - 1 <= k <= log2(n)/log2(10/9)

然后导致

T(n) around T(1)+c*log2(n)/log2(10/9)

它仍然以 log2(n) 的倍数为上下渐近界限，但修正后的公式“略有”不同。