我在 SML 中有两个函数，add 和 iterate。
fun add(x,y) = x + y
fun iterate n f x = if n > 0 then iterate (n-1) f(f x) else x;
仅使用这两个函数，我如何编写 multiply 函数，例如，如果键入：
multiply 5 6
返回 30。
然后，我需要一个名为 power 的函数，它只使用 iterate 和 multiply 将第一个参数提升到第二个参数的幂。一个例子：
power 5 4
它应该返回 625。
任何帮助将不胜感激！
【问题讨论】：
所以诀窍是使用iterate 来帮助您递归地应用add。由于iterate 是一个将函数作为参数的列表组合器，如果您以非常基本的方式进行此操作，可能会更简单：例如，您可以通过递归递增/递减一来定义add：
(* Written using if-then-else *)
fun add x y =
if y = 0 then x else
if y > 0 then add (x+1) (y-1) else add (x-1) (y+1)
(* Written using mixture of pattern-matching and if-then-else *)
fun add x 0 = x
| add x y = if y > 0
then add (x+1) (y-1)
else add (x-1) (y+1)
现在，这当然是非常低效且完全没有必要的，因为我们已经有了 +，但是为了演示数字递归，这是一个如何使用 multiply 和 power 进行改进的示例（仍在假设我们还没有iterate）。
这里的通用方法是递归：由于函数有两个操作数，所以一个作为“累加结果”，另一个作为“计数变量”。因为这是一个简单的问题，您可以只使用x 和y 作为函数任务的完整环境。在稍微大一点的问题中，您可能会引入更多作为临时/中间结果的参数。
你可以用非常相似的方式写multiply：
fun multiply x 0 = 0
| multiply x y = if y > 0
then x + multiply x (y-1)
else ~x + multiply x (y+1)
这个函数解决了这个任务（虽然还是没有iterate）。
(这个multiply不是尾递归的，因为最外层的表达式（x + ...或~x + ...）不是对multiply的调用（因为调用发生在+的操作数内). 这对你来说可能不是问题，但如果是，你不能轻易写... then multiply (x + ...) (y - 1)，因为当我们使用x 来累积结果时，任何后续的递归调用都增加了x ，这意味着我们不能再将x 添加到...本身...因为x 现在意味着两件事：累积结果，以及每次递归调用需要添加一次的内容。） p>
无论如何，要完成最后一步，您必须确定iterate 与我制作的add 和multiply 的共同点。当您可以发现共同点时，您可以将其隔离并调用iterate。我想修复一个可能会混淆您对iterate 的解释的空白“错误”：
fun iterate n f x = if n > 0
then iterate (n-1) f (f x)
else x; (* ^- this space! *)
添加这个空格不会改变函数的行为，但是当阅读f(f x) 时，人们很容易相信它说“将f 应用于f x”，这是错误的解释。这个函数在then 下实际上说的是“使用三个参数调用iterate：n-1、f 和f x；因为n-1 的绑定不如函数应用程序紧密，而f x 是 函数应用程序（它是左关联的），我们在它们周围添加括号；这对于f 不是必需的。”
在add 和multiply 中，y 被用作计数变量，而在iterate 中它是n。所以名称和位置发生了变化，这意味着基于iterate 的multiply 必须将x 和y 放在正确的位置。至于确定f 的值：将x 添加到结果中的函数怎么样？您可以使用 lambda、(fn z => ...) 或使用函数 add 的部分应用来表达此函数。
最后，power 也是同样的问题：
fun power x 0 = 1
| power x n = if n > 0
then x * power x (n-1)
else raise Fail "Cannot express 1/x^n as integer"
由于整数没有很好的解决方案，你要么必须切换到real类型来表达1/x^n，你也可以翻转条件并在开始递归之前将n < 0 的情况排除在外：
fun power x n =
if n < 0 then raise Fail "Cannot express 1/x^n as integer"
else let fun go result 0 = result
| go result i = go (result * x) (i-1)
in go 1 n
end
内部函数go看起来非常像上面的add，除了x变成了result，1变成了add，+变成了*，还有没有否定案例 (if y > 0 ... else ...)。
这意味着您实际上可以使用iterate 而不是go，只要您为iterate n f x 找到好的值：
n 应该是什么？ （需要倒计时。）f 应该是什么？ （执行逐步计算的东西。）x 应该是什么？ （在逐步计算中应用的东西。）（...全部以iterate 表示；在power 函数及其范围内的参数的上下文中，它们可能被称为其他名称。）
【讨论】：