log(n!) = Ω(n*log(n)) 怎么算？ [关闭]

Question

我知道

log (n!) =log (1) + log(2) + .... log(n-1) + log(n) 

和

 n*log(n)= log(n) + log(n) + .... + log(n) or just adding log(n)'s  n times. 

我可以将 n*log(n) 乘以哪个常数使其小于 log(n!)？

我阅读了一些关于它是 n/2*log(n/2) 的解决方案。那是什么常数？一半？

一个解决方案来自这里。 Is log(n!) = Θ(n·log(n))?

如果C = 1/2，那不就是(n/2)*log(n)吗？日志中的 n 是如何受到影响的，或者为什么 n 突然变成了 n/2？

我知道 log(a/b) = log a - log b 的日志规则。这条规则有用吗？

Answer 1

让第一个答案更加简单：

考虑n!=1*2*3*...*(n-1)*n与自身倒序组合，即为

   (n!)^2=(n)*(1*(n-1))*(2*(n-2))*...*((n-1)*1)*(n)

那么每个内积都允许以下估计

    k*(n-k)>=1*max(k,n-k)>=n/2

通过算术几何平均值，或者只是 x*(1-x) 在 0 和 1 中间的 1/2 处最大这一事实，

    k*(n-k)<=((n-k)+k)/2)^2=(n/2)^2

结合我们得到的一切

    n*(n/2)^(n-1)*n <= (n!)^2 <= n*(n/2)^(2(n-1))*n

取对数除以2

    (n+1)/2*log(n/2)+log(2) 
         <= log(n!) 
             <= n*log(n/2)+log(2)

所以下界的前导项为1/2*n*log(n)，上界的前导项为n*log(n)。

Answer 2

log(n!) = log(1) + ... + log(n) >= log(n/2) + log(n/2+1) + ... + log(n)
>= n/2*log(n/2) = n/2 *log(n) - n/2*log(2) >= (*) n/2 log(n) - n/4 log(n) 
= n/4 log(n) = 1/4 nlog(n) 

(*) 是因为对于 n 的“足够高”值（对于某个常数 N，n>N）n/2log(2) < n/4log(n)，所以我们减少了“更大”的元素 - 这会导致结果更低。

所以，我们得到了 log(n!) >= 1/4*nlog(n) - 这让我们知道它在 Omega(nlogn) 中，定义为 c=1/4。

关于第一部分，我们如何到达log(n/2) + log(n/2+1) + ... +log(n)

log(1) + ... + log(n) >= log(1) + ... + log(n) - log(1) - log(2) - ... - log(n/2-1) = 
  = log(n/2) + log(n/2+1) + ... + log(n)                      

Answer 3

这不是一个简单的常数。我认为您正在考虑证明O(log(n!)) = O(n*log(n))，如果是这种情况，那么您需要使用Sterling's approximation。如果你使用这个近似值，你可以证明对于任何值 c < 1 都应该有一个值 N 使得 n >= N c * n*log(n) < log(n!)。