MATLAB曲线拟合 - 最小二乘法 - 使用高度的错误“拟合”

Question

这里有人可以帮助我解决以下问题吗？ 以下代码计算适合给定数据集的最佳多项式，即；指定次数的多项式。

不幸的是，无论数据集是什么，通常是 6 级或更高，MATLAB 完全不适合。通常拟合曲线完全远离数据以一种向下看的指数方式。 （参见示例：度数 = 8）。

x=[1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5] % experimental x-values
y=[4.3 6.2 10.1 13.5 19.8 22.6 24.7 29.2] % experimental y-values

degree=8; % specify the degree
A = zeros(length(x),degree);
for exponent=0:degree;
for data=1:length(x);
   A(data,exponent+1)=x(data).^exponent; % create matrix A
end;
end;

a=inv((transpose(A)*A))*transpose(A)*y'; % a are the coëfficients of the polynom
a=flipud(a);
fitpolynoom=polyval(a,x);
error=sum((y-fitpolynoom).^2); % calculates the fit-error using the least-squares method
fitpolynoom=polyval(a,x);

figure;
plot(x,y,'black*',x,fitpolynoom,'g-');

error % displays the value of the fit-error in the Matlab command window

提前致谢。

Answer 1

首先，请注意：对于 Matlab 中的最小二乘拟合多项式，您可以改用现有的polyfit 函数。此外（这可能取决于您的应用程序）您可能不应该拟合 8 美元的多项式，尤其是当您有 8 美元的数据点时。在这个答案中，我假设您有充分的理由将多项式拟合到您的数据中（例如，仅出于自学目的）。

这个问题是由矩阵求逆引起的数值问题。对于求解 $Ax=b$ 类型的方程，其中 $A$ 是方阵，实际上不建议对 $A$ 求逆（请参阅Blogpost 'Don't invert that matrix' by John D. Cook）。在最小二乘情况下，而不是 \开始{方程} a = (A^\mathrm{T} A)^{-1} A^\mathrm{T} y^\mathrm{T} \end{方程} 最好解决 \开始{方程} (A^\mathrm{T} A)a = A^\mathrm{T} y^\mathrm{T} \end{方程} 通过其他方式。在您的 MATLAB 代码中，您可以替换

a=inv((transpose(A)*A))*transpose(A)*y';

通过

a = (transpose(A) * A) \ (transpose(A) * y');

通过对您的代码的这种修改，我通过数据点获得了拟合。