Python：用于最小二乘最小化的曲线拟合

Question

假设我有一个由t 参数化的模型f。我想要t 的最佳值，以使∑ₓ (f(x, t) - y(x))² 最小化。这就是最小二乘优化的目的。

在下面的例子中

from numpy import *
from scipy.optimize import curve_fit

x = arange(100)

t_true = 30
y = 1. / (1 + exp(-(x - t_true) / 5.))

f = lambda x, t: [0. if xi < t else 1. for xi in x]
t_opt, t_cor = curve_fit(f, x, y, p0=(20.))

plot(x, y)
plot(x, f(x, t_opt))

print(t_cor)

为什么我得到t_opt=20 而不是接近t_opt=30？

另外，为什么是t_cor=inf？我得到的结果是：

其中蓝色是数据，绿色是拟合模型，但我希望看起来像这样：

我确实预料到了这一点，因为第二张图像的残差平方和肯定小于第一张图像的平方和，并且显然没有局部最小值，优化可能会卡住。那么为什么这不起作用呢？

Answer 1

curve_fit is a wrapper 周围 least_sq 使用以下错误函数：

 def error(params, x, y):
    return np.sum((func(x, params) - y)**2)

在您的问题中，curve_fit 不起作用，因为您尝试拟合的方程式与您用来生成 y 的方程式非常不同。

适合这种情况的推荐函数是（t 未知）：

def f(x, t):
    return 1. / (1 + exp(-(x - t) / 5.))

有了这个推荐的拟合函数，curve_fit 就可以了，或者你可以直接使用scipy.optimize.leastsq，比如：

import numpy as np
from numpy import exp
from scipy.optimize import leastsq, curve_fit

x = np.arange(100)

t_true = 30

def f(x, t):
    return 1. / (1 + exp(-(x - t) / 5.))

y = f(x, t_true)

def error(t, x, y):
    return np.sum((f(x, t) - y)**2)

t_opt, t_cor = leastsq(error, args=(x, y), x0=1.)
print('least_sq', t_opt, t_cor)

t_opt2, t_cor2 = curve_fit(f, x, y, p0=(0,))
print('curve_fit', t_opt2, t_cor2)

这会给你：

least_sq [ 30.00000007] 2
curve_fit [ 30.] [[ 0.]]