设计一个函数 f 使得：
f(f(x)) == 1/x
其中 x 是 32 位浮点数
或者怎么样
给定一个函数 f，求一个函数 g 这样
f(x) == g(g(x))
【问题讨论】：
标签： math
试试这个
MessageBox.Show( "x = " + x );
MessageBox.Show( "value of x + x is " + ( x + x ) );
MessageBox.Show( "x =" );
MessageBox.Show( ( x + y ) + " = " + ( y + x ) );
【讨论】：
如果f(x) == g(g(x))，则g 被称为functional square root 的f。即使您允许 x 复杂，我也不认为一般有封闭形式（您可能想去 mathoverflow 讨论:)）。
【讨论】：
g(g(x)) == f(x) 的 C++ 解决方案：
struct X{
double val;
};
X g(double x){
X ret = {x};
return ret;
}
double g(X x){
return f(x.val);
}
这是一个短一点的版本（我更喜欢这个 :-)）
struct X{
X(double){}
bool operator==(double) const{
return true
}
};
X g(X x){
return X();
}
【讨论】：
还有另一种方法可以解决这个问题，它使用分数线性变换的概念。这些是发送 x->(ax+b)/(cx+d) 的函数，其中 a,b,c,d 是实数。
例如，您可以使用一些代数证明如果 f 由 f(x)=(ax+1)(-x+d) 定义，其中 a^2=d^2=1 和 a+d0那么对于所有实数 x，f(f(x))=1/x。选择 a=1,d=1，这给出了 C++ 问题的解决方案：
float f(float x)
{
return (x+1)/(-x+1);
}
证明是f(f(x))=f((x+1)/(-x+1))=((x+1)/(-x+1)+1)/(-( x+1)/(-x+1)+1) = (2/(1-x))/(2x/(1-x))=1/x 取消 (1-x)。
这不适用于 x=1 或 x=0，除非我们允许定义满足 1/inf = 0、1/0 = inf 的“无限”值。
【讨论】：
好吧，这里是 C 的快速破解：
extern double f(double x);
double g(double x)
{
static int parity = 0;
parity ^= 1;
return (parity ? x : f(x));
}
但是，如果你这样做，这就会失败：
a = g(4.0); // => a = 4.0, parity = 1
b = g(2.0); // => b = f(2.0), parity = 0
c = g(a); // => c = 4.0, parity = 1
d = g(b); // => d = f(f(2.0)), parity = 0
一般来说，如果 f 是双射 f : D → D，你需要的是一个函数 σ，它将域 D 划分为 A 和 B，这样：
那么，你可以这样定义g：
这很有效
从 Miles 的回答中可以看出，如果我们忽略 0，那么操作 σ(x) = -x 适用于 f(x) = 1/x。您可以检查 1-6（对于 D = 非零实数），其中 A 是正数，B 是您自己的负数。使用双精度标准，有 +0、-0、+inf 和 -inf，这些可用于使域总计（适用于所有双精度数字，而不仅仅是非零)。
同样的方法可以应用于 f(x) = -1 问题 - 那里接受的解决方案使用余数 mod 2 划分空间，使用 σ(x) = (x - 1)，特别处理零情况.
【讨论】：
基于this answer，泛化版本的解决方案（作为Perl单行）：
sub g { $_[0] > 0 ? -f($_[0]) : -$_[0] }
应该总是翻转变量的符号（也就是状态）两次，并且应该总是只调用一次f()。对于那些不适合 Perl 隐式返回的语言，只需在 { 之前弹出一个 return 就可以了。
只要f() 不改变变量的符号，这个解决方案就可以工作。在这种情况下，它返回原始结果（对于负数）或f(f()) 的结果（对于正数）。另一种方法可以将变量的状态存储为偶数/奇数，就像上一个问题的答案一样，但是如果f() 更改（或可以更改）变量的值，它就会中断。如前所述，更好的答案是 lambda 解决方案。这是 Perl 中类似但不同的解决方案（使用引用，但概念相同）：
sub g {
if(ref $_[0]) {
return ${$_[0]};
} else {
local $var = f($_[0]);
return \$var;
}
}
注意：这是经过测试的，不有效。它始终返回对标量的引用（并且始终是相同的引用）。我已经尝试了一些东西，但是这段代码显示了总体思路，虽然我的实现是错误的，而且该方法甚至可能存在缺陷，但这是朝着正确方向迈出的一步。通过一些技巧，您甚至可以使用字符串：
use String::Util qw(looks_like_number);
sub g {
return "s" . f($_[0]) if looks_like_number $_[0];
return substr $_[0], 1;
}
【讨论】：
对于第一部分：这个比 f(f(x)) = -x, IMO 更简单：
float f(float x)
{
return x >= 0 ? -1.0/x : -x;
}
第二部分是一个有趣的问题，也是这个问题所基于的the original question 的明显概括。有两种基本方法：
【讨论】：
inf，这是正确的答案。 -0.0f 失败，因为它被认为等于 0。它使用 -inf 作为输入，但对于 +inf 失败。如果您将条件更改为“x > 0 || x 是 +0.0f（但不是 -0.0f！）”，它会起作用，但是我不知道如何实际编写它。 :-(
其他解决方案暗示需要额外的状态。这是一个更数学的理由：
let f(x) = 1/(x^i)= x^-i
(其中^表示指数，i是虚数常数sqrt(-1))
f(f(x)) = (x^-i)^-i) = x^(-i*-i) = x^(-1) = 1/x
因此存在复数的解决方案。我不知道是否有一个严格遵守实数的通用解决方案。
【讨论】：
同样，它被指定为 32 位数字。让 return 有更多的位，用它们在调用之间携带你的状态信息。
Const
Flag = $100000000;
Function F(X : 32bit) : 64bit;
Begin
If (64BitInt(X) And Flag) > 0 then
Result := g(32bit(X))
Else
Result := 32BitInt(X) Or Flag;
End;
对于任何函数 g 和任何 32 位数据类型 32 位。
【讨论】：
我喜欢早期线程中的 javascript/lambda 建议：
function f(x)
{
if (typeof x == "function")
return x();
else
return function () {return 1/x;}
}
【讨论】：