使用 MathNET 的置信区间

Question

我有一个IEnumerable<double> 数据样本。我想计算信号/数据的 90% 置信区间。我可以使用MathNET library，但我对如何正确使用该库感到困惑。给定我的数据，想法是返回两个额外的数据数组，其中包含原始信号的置信区间

using MathNet.Numerics.Statistics;
using MathNet.Numerics.Distributions;

public static List<double[]> ConfidenceIntervals(IEnumerable<double> sample, double interval)
{
    Contract.Requires(interval > 0 && interval < 1.0);
    int sampleSize = sample.Count();
    double alpha = 1.0 - interval;
    double mean = sample.Mean();
    double sd = sample.StandardDeviation();

    double t, mu;
    double[] upper = new double[sampleSize];
    double[] lower = new double[sampleSize];
    StudentT studentT = new StudentT(mean, alpha, sampleSize - 1);
    int index = 0;
    foreach (double d in sample)
    {
        t = studentT.CumulativeDistribution(d);
        double tmp = t * (sd / Math.Sqrt(sampleSize));
        mu = mean - tmp;
        upper[index] = d + mu;
        lower[index] = d - mu;
    }
    return new List<double[]>() { upper, lower };
}

这在数学方面确实并不复杂，我只是对如何正确使用MathNET library 中可用的函数/方法感到困惑。

Answer 1

我不完全确定我是否理解信号的置信区间应该如何应用于信号的每个样本，但我们可以按如下方式计算样本集的置信区间：

public static Tuple<double, double> A(double[] samples, double interval)
{
    double theta = (interval + 1.0)/2;
    double mean = samples.Mean();
    double sd = samples.StandardDeviation();
    double T = StudentT.InvCDF(0,1,samples.Length-1,theta);
    double t = T * (sd / Math.Sqrt(samples.Length));
    return Tuple.Create(mean-t, mean+t);
}

除了我们计算 T 的行没有编译，因为不幸的是在当前的 Math.NET Numerics 中还没有 StudentT.InvCDF。但与此同时，我们仍然可以对其进行数值评估作为一种解决方法：

var student = new StudentT(0,1,samples.Length-1);
double T = FindRoots.OfFunction(x => student.CumulativeDistribution(x)-theta,-800,800);

例如，对于 16 个样本和 alpha 0.05，我们得到 2.131，正如预期的那样。如果有超过 ~60-100 个样本，这也可以用正态分布来近似：

double T = Nomal.InvCDF(0,1,theta);

总而言之：

public static Tuple<double, double> B(double[] samples, double interval)
{
    double theta = (interval + 1.0)/2;
    double T = FindRoots.OfFunction(x => StudentT.CDF(0,1,samples.Length-1,x)-theta,-800,800);

    double mean = samples.Mean();
    double sd = samples.StandardDeviation();
    double t = T * (sd / Math.Sqrt(samples.Length));
    return Tuple.Create(mean-t, mean+t);
}

这还不是完整的答案，因为我知道您想以某种方式将置信区间应用于每个样本，但希望它有助于实现目标。

PS：使用 Math.NET Numerics v3.0.0-alpha7

Answer 2

我注意到您没有在foreach 循环中增加索引值。这将使索引 0 处的值被下一次计算替换（当您尝试设置 upper[index] 和 lower[index] 值时）。

所以我想这就是你得到错误结果的原因。

如果是这样，你的代码应该是

using MathNet.Numerics.Statistics;
using MathNet.Numerics.Distributions;

public static List<double[]> ConfidenceIntervals(IEnumerable<double> sample, double interval)
{
    Contract.Requires(interval > 0 && interval < 1.0);
    int sampleSize = sample.Count();
    double alpha = 1.0 - interval;
    double mean = sample.Mean();
    double sd = sample.StandardDeviation();

    double t, mu;
    double[] upper = new double[sampleSize];
    double[] lower = new double[sampleSize];
    StudentT studentT = new StudentT(mean, alpha, sampleSize - 1);
    int index = 0;
    foreach (double d in sample)
    {
        t = studentT.CumulativeDistribution(d);
        double tmp = t * (sd / Math.Sqrt(sampleSize));
        mu = mean - tmp;
        upper[index] = d + mu;
        lower[index] = d - mu;
        index++;
    }
    return new List<double[]>() { upper, lower };
}