realmax('single') 的 Matlab 结果为 ans = 3.4028e+38。我试图理解为什么这个数字出现在计算机的二进制表示中，但我有点困惑。
我知道 realmax('single') 是 32 位单精度表示的最高浮点数。这意味着二进制表示由 1 位符号、23 位尾数和 8 位指数组成。而 3.4028e+38 是最高单精度浮点数的十进制表示，但我不知道这个数字是怎么推导出来的。
现在，输入 2^128 给出的答案与 3.4028e+38 相同，但我不明白其中的相关性。
从二进制表示的角度来看，为什么 3.4028e+38 是 32 位格式的浮点数的最大返回结果？谢谢。
【问题讨论】：
标签： matlab binary floating-point
正如IEEE754 指定的，最大幅度指数为 Emax=12710=7F16=0111 11112 。这在 8 个指数位中编码为 25410=FE16=1111 11102。指数 25510=FF16=1111 11112 保留用于表示无穷大，因此 25410 是最大的可用。从导致 25410-12710=12710 的指数位中减去指数偏差 12710。当所有 23 个尾数位都设置为 1 时，获得最大尾数。可以表示的最大值为 1.111111111111111111111112x2127=3.402823510子>x1038。
此site 可让您设置表示的位并查看以十进制、二进制和十六进制表示的 IEEE754 值。
还要注意最大值小于2^128。您可以使用format long 更精确地表示 MATLAB 中的数字输出。它们相似的原因是因为 1.111111111111111111111112x2127 接近 102x2127=12x2128.
【讨论】：
realmax('single') == (single(2)-eps('single'))*single(2)^127，其中eps('single') 是single(2)^-23。双精度：realmax('single') == 2^128-2^104.
作为计算机中数字的单精度二进制浮点表示的先驱，我首先讨论十进制数的所谓“科学记数法”。
使用以 10 为底的数字系统，每个正十进制数在集合 {1..9} 中都有第一个非零前导数字。 （所有其他数字都在集合 {0..9} 中。）数字的小数点总是可以通过乘以数字基数 10 的适当幂 10^n 来移动到该前导数字的最右边。例如0.012345 = 1.2345*10^n 其中 n = -2。这意味着每个非零数 x 的十进制表示可以采用以下形式
x = (+/-)(i.jklm...)*10^n ; where i is in the set {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
前导小数因子（i.jklm...），称为x的“尾数”，是区间[1,10）中的一个数，即大于等于1且小于10。尾数的最大值可以是 9.9999... 所以数字 x 的实际“大小”是存储在指数因子 10^n 中的整数。如果 x 很大，则 n >> 0，而如果 x 很小，则 n
我们现在想使用与计算机存储数字相关的以 2 为底的数字系统来重新审视这些想法。计算机内部使用以 2 为底的数字表示数字，而不是更熟悉的以 10 为底的数字。数字的“二进制”表示中使用的所有数字都属于集合 {0,1}。使用与我们在十进制表示中相同的思维方式以二进制表示形式表示 x，我们看到每个正数 x 都具有以下形式
x = (+/-)(i.jklm...)*2^n ; where i = 1,
而其余数字属于 {0,1}。
这里领先的二进制因子（尾数）i.jklm...位于区间[1,2)，而不是与十进制系统中尾数相关的区间[1,10)。此处尾数以二进制数 1.1111... 为界，它始终小于 2，因为实际上永远不会有无限位数。和以前一样，数字 x 的实际“大小”存储在整数指数因子 2^n 中。当 x 很大时 n >> 0 并且当 x 非常小时 n
x 的（单精度）二进制表示的标准约定是通过在计算机内存中准确存储 32 位（0 或 1）来实现的。第一位用于表示数字的算术“符号”。这使得 31 位要分布在 x 的尾数 (i.jklm...) 和指数因子 2^n 之间。 （回想一下 i.jklmn 中的 i = 1 ......所以它的表示不需要 31 位中的任何一个。）此时，一个重要的“权衡”开始发挥作用：
专用于 x 的尾数 (i.jkl...) 的位越多，可用于在其指数因子 2^n 中表示指数 n 的位就越少。通常 23 位专用于 x 的尾数。 （不难证明，在十进制系统中，x 的精度大约为 7 位，这对于大多数科学工作来说已经足够了。）由于第一个位专门用于存储 x 的符号，因此剩下 8 位可用于表示因子 2^n 中的 n。由于我们希望允许非常大的 x 和非常小的 x，因此决定以
的形式存储 2^n 2^n = 2^(m-127) ; n = m - 127,
存储指数 m 而不是 n。利用 8 位，这意味着 m 属于二进制整数集合 {000000,00000001,....11111111}。由于人类更容易在十进制系统中思考，这意味着 m 属于值集合 {0,1,....255}。减去-127，这意味着2^n又属于数集{-127,-126,...0,1,2...128}，即
-127 <= n <= 128.
x 的二进制浮点表示的最大指数因子 2^n 可以被视为 2^n = 2^128，或者在十进制系统中查看（使用任何计算器计算 2^128）
2^n <= 3.4028...*10^38.
综上所述，在IEEE格式的计算机中，单精度浮点数可能存储的最大数x是形式为的数
x = y*(3.4028...*10^38).
这里尾数 y 位于（半闭半开）区间 [1,2) 中。
为简单起见，Matlab 将“最大”可能的浮点数的“大小”报告为指数因子 2^128 = 3.4028*10^38 的最大大小。从这个讨论中我们看到，使用 32 位二进制浮点表示可以存储的最大浮点数实际上加倍为 max_x = 6.8056*10^38。
【讨论】：