检测贝塞尔曲线平行线中的“扭结”

Question

我希望有人可以帮助我找出一种计算成本低廉的方法来检测与贝塞尔曲线平行的直线上的扭结，正如您在此处看到的那样

我想要做的是能够确定扭结的交点，在交点之前具有起点的线段以及在扭结之后具有终点的第一段。这样我就可以简单地删除任何不必要的路段，并调整第一个和最后一个路段以在交叉路口相遇。

抱歉，如果我使用了不正确的术语。但据我了解，我定位这些线段的方式是确定贝塞尔曲线（黄色）的线段的单位向量并将其乘以偏移量并找到法线向量以创建两个新的起点和终点用于偏移段（白色）。

数学不是我的强项，所以我希望有人能推动我朝着正确的方向前进。

编辑：图像实际上已由 HTML 调整大小，所以如果您很难看到我在说什么，这里是直接链接：http://i.stack.imgur.com/xtils.png

Answer 1

作为第一个近似值，计算您的Bezier curve 的radius of curvature。如果偏移量大于或等于曲率半径，则应寻找扭结。

具体来说，对于带有控制点P0, P1, P2, P3 的三次贝塞尔曲线：

B(t) = P0 * (1-t)^3 + P1 * 3*t*(1-t)^2 + P2 * 3*t^2*(1-t) + P3 * t^3
-> B'(t)  = (P1-P0) * 3*(1-t)^2 + (P2-P1) * 6*t*(1-t) + (P3-P2) * 3*t^2 
-> B''(t) = (P2+P0-2*P1) * 6*(1-t) + (P3+P1-2*P2) * 6*t

let:  cross2d(p, q) = p.x*q.y - p.y*q.x
then, radius of curvature = |B'(t)|^3 / cross2d(B'(t), B''(t))

我已将曲率半径保留为带符号的形式；该标志应指出您可以预期扭结的曲线一侧。

注意：你可以有零曲率半径，或无限曲率半径；将|B'(t)|^3 与signed_offset * cross2d(B'(t), B''(t)) 进行比较可能会更好。