使用 BFS 了解树遍历的时间复杂度答案

【问题标题】：Understanding Time Complexity for tree traversal using BFS使用 BFS 了解树遍历的时间复杂度
【发布时间】：2017-10-29 05:58:36
【问题描述】：

当我使用 BFS 遍历具有 n 个节点的树（不一定是二叉树）时，我试图了解时间复杂度。根据我的理解，它应该是 O(n^2)，因为我的外循环运行了 n 次，即直到队列不为空并且树包含 n 个节点。我的内部 for 循环必须不断地将与特定节点关联的子节点添加到队列中。（每个节点都有一个包含所有子节点地址的字典）因此，例如，如果根节点有 n-1 个节点（因此所有这些节点都没有进一步的子节点），那么时间复杂度不会是 n*(n-1) = O(n^2)。

我的理解正确吗？有什么办法可以在 O(n) 中完成吗？请解释一下。

【问题讨论】：

标签： c++ algorithm time tree breadth-first-search

【解决方案1】：

Big-O 表示法表示时间复杂度的上限。你当然可以说 BFS 的时间复杂度是 O(n²)，但这并不是一个严格的上限。

要获得严格的上界，可以这样考虑 BFS：每个节点只会被加入队列一次，每个节点只会从队列中移除一次。每次添加和删除操作仅花费 O(1) 时间，因此时间复杂度为 O(n)。

编辑

要在树上实现 O(n) BFS，可以尝试实现以下伪代码。

procedure bfs(root: root of the tree)
    q := an empty queue
    push root into q

    while q is not empty
        v := the element at the head of q
        for u := children of v
            push u into q
        pop v out of q

【讨论】：

好的，我想我应该重新提出我的问题，有没有更快的方法来实现算法？

【解决方案2】：

用节点和边的数量来描述图算法的复杂性通常更有用。通常 |V|用于表示节点数，|E|表示边数。

在 BFS 中，我们访问每个 |V|节点一次并将其所有邻居添加到队列中。并且，在算法结束时，图中的每条边都被处理了一次。因此我们可以说 BFS 是 O(|V| + |E|)。

在全连接图中，|E| = |V|(|V| - 1)/2。因此，对于完全连接的图，复杂度为 O(|V|^2) 是正确的；然而，对于已知稀疏的图，O(|V| + |E|) 被认为是更严格的分析。

【讨论】：

我想我应该重新提出我的问题，有没有更快的方法来实现算法？
从您提供的描述来看，这听起来已经很理想了。您的算法应该是 O(V + E)。由于您的输入是一棵树，因此您知道 |E| = |V|-1。因此，您的算法是 O(V)。只有您的分析是不正确的，因为您假设每个节点可能有 n-1 个子节点，而实际上树中的每个节点不可能有那么多。