随机序列的最大连续子序列和的期望答案

【问题标题】：Expectation of the maximum consecutive subsequence sum of a random sequence随机序列的最大连续子序列和的期望
【发布时间】：2012-06-30 22:37:24
【问题描述】：

这是 Programming Pearls 第 2 版（第 8.7 章）中的一个问题：

考虑一个实数序列，其元素是从[-1, 1] 范围内均匀抽取的，预期的最大连续子序列总和是多少？（如果所有元素都是负数，则最大和为0。）

假设序列的长度为N，是否存在预期最大子序列和f(N)的封闭形式？我尝试做一些模拟，但没有找到任何线索。

感谢您的帮助。

【问题讨论】：

你应该把这个发到math.stackexchange.com

标签： algorithm programming-pearls

【解决方案1】：

执行多次模拟并保存所有结果。将它们放入 Histogram 中，您会看到某些值具有更频繁出现的属性。由于随机性，您必须执行大量测试，以便您的直方图变得更加可靠（即使这样我也不确定结果的公平性）。

【讨论】：

【解决方案2】：

这类似于一维中的Brownian motion，但步长的分布不寻常。对于大 N，它近似于 Wiener process。

（不确定这些是否很有帮助，但如果您不了解这些联系，它可能会提供更多查看的地方）。

【讨论】：

【解决方案3】：

这个问题也提交到Quora。链接是here

其中一个回复是关于模拟的：

以下是一些小案例的确切答案，由 Mathematica 提供。不幸的是，在这些之后计算变得非常慢。

In[1]:= f[n_] := Expectation[Max[0, Max[Table[Sum[x[k], {k, i, j}], {i, n}, {j, i, n}]]], Distributed[Table[x[i], {i, n}], UniformDistribution[Table[{-1, 1}, {n}]]]]

In[2]:= Table[f[n], {n, 5}]

Out[2]= {1/4, 1/2, 23/32, 291/320, 4141/3840}

【讨论】：