最大值连续子序列算法

Question

这个问题的输入是一个实数数组A[1...n]。您需要找出通过将A 的连续子序列A[i],A[i+1],...A[j] 的所有数字相加可以获得的最高值是多少。如果A 不包含负数，则问题很简单，可以通过将A 的所有元素相加来解决。但是，当A 包含正数和负数的混合时，它会变得更加棘手。

例如，对于A = [-2,11,-4,13,-5,-3]，解决方案是20(11-4+13=20)。对于A = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，解决方案是6(4-1+2+1=6)。空子序列的个数之和为0。

存在 O(n^3) 内解决此问题的蛮力解决方案，但也可以在线性时间内解决该问题。

1. 设计一种算法，在线性时间内解决上述问题。用伪代码展示您的算法。
2. 简要说明您的算法如何以及为何起作用。
3. 简要说明为什么您的算法确实在线性时间内运行。

Answer 1

如果我们不采取任何项目（所以解决方案是一个空子数组），我们有0 作为解决方案。 这就是为什么规则是：

 When running `sum` drops to `0` or below, restart summing. 

一个有点棘手的时刻是在求和时遇到一个负数：

 3, 4, 5, -1 ...

我们可以离开它（并拥有3 + 4 + 5 == 12）或接受它希望出现正数 很快：

3, 4, 5, -1, 100, 200, 300

为了解决这个歧义，我们可以记住最好的 sum 到 result 并继续求和。 C# 实现：

private static double Solution(IEnumerable<double> source) {
  // We can guarantee 0 (for empty subarray) 
  double result = 0;
  double sum = 0; 

  // Linear: all we have to do is to scan the collection 
  foreach (var item in source) 
    if (sum + item <= 0) // when sum drops to zero
      sum = 0;           // ... restart summing
    else {
      sum += item;

      if (sum > result)  // update the best sum so far on each decision
        result = sum;
    }

  return result;
}

测试：

// 6
Console.WriteLine(Solution(new double[] { -2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4 }));
// 20
Console.WriteLine(Solution(new double[] { -2, 11, -4, 13, -5, -3 }));