最大连续负和或最小正子序列和问题答案

【问题标题】：Maximum Countiguous Negative Sum or Mnimum positive subsequence sum problem最大连续负和或最小正子序列和问题
【发布时间】：2011-10-03 18:38:27
【问题描述】：

我们都听说过宾利漂亮的编程珍珠问题它解决了最大子序列和：

maxsofar = 0;
maxcur = 0;
for (i = 0; i < n; i++) {
  maxcur = max(A[i] + maxcur, 0);
  maxsofar = max(maxsofar, maxcur);
}

如果我们添加一个小于 M 的附加条件最大子序列会怎样？

【问题讨论】：

标签： algorithm max programming-pearls

【解决方案1】：

应该这样做。我是赖吗？

int maxsofar = 0;
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
   int maxcur = 0;
   for (int j = i; j < n; j++) {
      maxcur = max(A[j] + maxcur, 0);
      maxsofar = maxcur < M ? max(maxsofar, maxcur) : maxsofar;
   }
}

不幸的是，这是O(n^2)。当maxcur >=M 仍然存在时，您可以通过打破内部循环来加快速度，但n^2 仍然存在。

【讨论】：

M = 8, A={ 2, 3, 4, 5}。你会给 5 而不是 7。

【解决方案2】：

这可以使用动态规划来解决，尽管只能在伪多项式时间内解决。

定义

m(i,s) := maximum sum less than s obtainable using only the first i elements

那么你可以使用下面的递推关系计算max(n,M)

m(i,s) = max(m(i-1,s), m(i-1,s-A[i]]+A[i]))

这个解法类似于背包问题的解法。

【讨论】：

【解决方案3】：

如果所有A[i] > 0，您可以在O(n lg n) 中执行此操作：预先计算部分和S[i]，然后对S 进行二进制搜索S[i] + M。例如：

def binary_search(L, x):
  def _binary_search(lo, hi):
    if lo >= hi: return lo
    mid = lo + (hi-lo)/2
    if x < L[mid]:
      return _binary_search(lo, mid)
    return _binary_search(mid+1, hi)
  return _binary_search(0, len(L))

A = [1, 2, 3, 2, 1]
M = 4
S = [A[0]]
for a in A[1:]:
  S.append(S[-1] + a)
maxsum = 0
for i, s in enumerate(S):
  j = binary_search(S, s + M)
  if j == len(S):
    break
  sum = S[j-1] - S[i]
  maxsum = max(sum, maxsum)
print maxsum

编辑：正如 atuls 正确指出的那样，二分搜索是多余的；由于 S 在增加，我们可以只跟踪 j 每次迭代并从那里前进。

【讨论】：

它也是负面的。什么是 S[i]+M？
进行了编辑以使其更清晰 - 但不，这没有考虑到否定A[i] 的可能性；二进制搜索不起作用。
你不需要二分查找，线性查找就好。整个循环将在 O(n) 内完成，因为下一个搜索在上一个搜索的右侧。但仍然不适用于负数。

【解决方案4】：

可在 O(n log(n)) 内求解。使用二叉搜索树（平衡）搜索大于 sum-M 的最小值，然后从左到右更新 min 并插入 sum。其中 sum 是到目前为止的部分总和。

  best = -infinity;
  sum = 0;
  tree.insert(0);
  for(i = 0; i < n; i++) {
     sum = sum + A[i];
     int diff = sum - tree.find_smallest_value_larger_than(sum - M);
     if (diff > best) {
       best = diff;
     }
     tree.insert(sum);
   }

   print best

【讨论】：

嗯。我想知道这个问题是否可以简化为比较排序，在这种情况下 O(n lg n) 将是一个紧密的界限......