大 O - O(log(n)) 代码示例答案

【问题标题】：Big O - O(log(n)) code example大 O - O(log(n)) 代码示例
【发布时间】：2013-06-11 22:45:24
【问题描述】：

就像大 O 符号“O(1)”可以描述以下代码：

O(1):

    for (int i = 0; i < 10; i++) {
        // do stuff 
        a[i] = INT;
    }

O(n):

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // do stuff 
        a[i] = INT;
    }

O(n^2):
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            // do stuff
            a[i][j] = INT;
        }
    }

O(log(n)) 可以描述什么代码？

另一个问题：

对于“大 O 问题”（当获取大量数据作为输入时该怎么办）有哪些解决方案？

【问题讨论】：

O(log n) 通常是在算法分而治之的时候，比如二分搜索或类似的。
这是一个实用的（编码测试）示例leetcode.com/problems/find-peak-element => 查看问题和解决方案

标签： java algorithm big-o

【解决方案1】：

经典例子：

while (x > 0) {  
   x /= 2;  
}

这将是：

Iteration |   x
----------+-------
    0     |   x
    1     |  x/2
    2     |  x/4
   ...    |  ...
   ...    |  ...
    k     |  x/2^k

2^k = x → 两边应用对数 → k = log(x)

【讨论】：

伟大而简单的例子，正是我想要的！谢谢你:)
我错过了你得到 2^k = x 的那一刻，而它曾经是 x/2^k ？
1 是最后一次迭代。所以我想知道在哪一点上这将被评估为 1。
有史以来最好的解释。非常感谢。
@DanielGurinov，x/2^k 的除法最终会得到 1。等式这会给你， 1=x/2^k ，相当于， x=2^k ，关于应用日志。当 b 的 y 次方等于 x 时： b^y = x ;在这种情况下 2^y=x 那么 x 的以 b 为底的对数等于 y： logb(x) = y ;在这种情况下，k = log(x) 意味着 log base 2

【解决方案2】：

带有 for 循环的最简单代码，可用于表示：

O(1)：

function O_1(i) {
    // console.log(i);
    return 1
}

O(n)：

function O_N(n) {
    count = 0;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        // console.log(i);
        count++;
    }
    return count
}

O(n²)：

function O_N2(n) {
    count = 0;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++) {
            // console.log(i, j);
            count++;
        }
    }
    return count
}

O(Log₂(n))：

function O_LOG_2(n) {
    count = 0;
    for (var i = 1; i < n; i = i * 2) {

        count++;
    }
    return count
}

O(Sqrt(n))：

function O_SQRT(n) {
    count = 0;
    for (var i = 1; i * i < n; i++) {
        // console.log(i);
        count++;
    }
    return count
}

【讨论】：

【解决方案3】：

根据定义，log(n)（我的意思是以 2 为底的对数，但底数实际上并不重要）是您必须乘以 2 才能得到 n 的次数。所以，O(log(n)) 代码示例是：

i = 1
while(i < n)
    i = i * 2
    // maybe doing addition O(1) code

在实际代码示例中，您可以在二进制搜索、平衡二进制搜索树、许多递归算法、优先级队列中遇到 O(log(n))。

【讨论】：

【解决方案4】：

对于 O(logn)，请查看任何涉及分治策略的代码示例：合并排序和快速排序（在这些情况下，预计运行时间为 O(nlogn)）

【讨论】：

【解决方案5】：

二分搜索是一个例子 O(log(n))。 http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_search_algorithm.

【讨论】：

【解决方案6】：

可能值得强调的是，您描述的较低复杂度算法是较高复杂度算法的子集。换句话说，

for (int i = 0; i < 10; i++) {
    // do stuff 
    a[i] = INT;
}

在 O(1) 中，但也在 O(n)、O(n²) 中，如果你想聪明一点，O(log(n))。为什么？因为所有的恒定时间算法都受到一些线性、二次等函数的限制。

对于“大 O 问题”有哪些解决方案（当获取大量数据作为输入时该怎么做）？

这个问题对我来说没有多大意义。 “大量数据”是相当随意的。不过，请记住，大 O 并不是时间复杂度的唯一衡量标准。除了测量最坏情况的时间复杂度外，我们还可以检查最佳情况和平均情况，尽管计算起来可能有点棘手。

【讨论】：

【解决方案7】：

在二分搜索的情况下，您试图找到最大的迭代次数，因此搜索空间可以分成两半的最大次数。这是通过重复将搜索空间的大小 n 除以 2 直到达到 1 来实现的。

让我们给出标签 x 需要将 n 除以 2 的次数。由于除以 2，x 次等于除以 2^x，因此您最终必须求解这个等式：

n/2^x = 1，变成n = 2^x，

所以使用对数，x = log(n)，所以二进制搜索的 BIG - O 是 O(log(n))

重申一下：x 是在将大小为 n 的空间缩小到大小为 1 之前，您可以将其分成两半的次数。

http://www.quora.com/How-would-you-explain-O-log-n-in-algorithms-to-1st-year-undergrad-student

【讨论】：