给定叶子上的数据，找到一棵树答案

【问题标题】：find a tree, given the data on its leaves给定叶子上的数据，找到一棵树
【发布时间】：2011-07-27 12:36:57
【问题描述】：

让有一个无向树T，并让有：T.leaves - 所有的叶子（每个 v 使得d(v) = 1）。我们知道：|T.leaves| 和 distance between u and v for each u,v in T.leaves。
换句话说：我们有一棵无向树，我们知道它有多少叶子，以及每两片叶子之间的距离。
我们需要找到how many inside vertices (d(v)>1) are in the tree。

注意：构建完整的树是不可能的，因为如果我们只有 2 片叶子但它们之间的距离是 2^30，这将花费太长时间......

我尝试从最短距离开始计算它们之间有多少个顶点，然后添加最接近它们的顶点，但为此我需要一些公式 f(leaves_counted,next_leaf) 但我无法管理找到那个...
有什么想法吗？

【问题讨论】：

您实际上可以构建这棵树。只需保持非分支路径压缩（存储一条边 + 其长度）并根据需要添加内部节点。所以相隔 2^31 的两个节点只是 2 个节点加上一个标记为 2^31 的物理边。不确定您是否真的需要，但可以。
@Rafal：但是当您尝试添加另一个顶点时，您需要检查所有可能性（除非我遗漏了什么），并且您需要遍历这个距离。
gr：不一定，你可以像距离是浮点数一样求解方程。
@Rafal：需要详细说明吗？如果你有一棵树（不像上面讨论的那样简单，但有很多叶子） - 你如何选择在哪里添加新顶点而不进行迭代两片叶子之间的距离？
gr：继续回答。

标签： algorithm tree graph-theory

【解决方案1】：

继续 cmets 中的讨论。这是检查特定（压缩）边缘的方法，以查看是否可以将新顶点 n 附加在它中间的某个位置，而无需迭代距离。

好的，所以你需要找到三个数字：l（附着点到相关边的左节点的距离），x（新节点到附着点的距离）和r（与l对称。）

显然，对于集合L（树的左侧部分）中的每个节点y，它到A 的距离必须与其到n 的距离相差相同的数字（我们称之为@987654331 @ 必须等于 l + x)。如果不是这种情况，则没有针对此特定边缘的解决方案。 R 中的节点也是如此，分别为 dr 和 r + x。

如果以上成立，那么你有三个等式：

l + x = dl

r + x = dr

r+l = dist(A,B)

三个方程，三个数字。如果这有一个解决方案，那么你已经找到了正确的边缘。

在最坏的情况下，您需要为每条边迭代上述内容，但我认为可以对其进行优化 - 对 L 和 R 的距离检查可能会将树的某个部分排除在进一步搜索之外。也有可能在不构建树的情况下以某种方式获得节点的数量。

【讨论】：

我将在今天/明天尝试实施它，然后回来寻求有关此答案的反馈。谢谢！
@amit gr：请注意，可能还有优化空间。这只是为了展示一个有用的想法，而不是完整的最优算法。
工作得很好，但如果有人在未来尝试它的话，有几个 cmets：dist(A,B) = r+l-1 （因为有一个顶点被计算两次）并且，每个步骤我们需要为树中已经存在的每两个顶点 (A,B) 添加 min{x}。问题在 O(n^3) 中以这种方式解决，我确信可以进行优化以在小于 O(n^2) 的时间内找到 min{x} [每个顶点的适当添加顺序]。
优化：我们不需要遍历所有可能的元组 (v1,v2)，我们可以遍历所有的元组 (root,v)，其中 root 是常量，我们对每个顶点都这样做，并且我们得到 O(n^2)

【解决方案2】：

如果您的二叉树有 L 个叶子，那么无论树的形状如何，它都有 L-1 个内部顶点。

你可以很容易地证明这一点：从只有一个节点（根）节点的树开始。然后取任意一个叶子，并添加两个后代，将叶子转换为内部顶点并添加到叶子。这将删除一个叶子（旧节点），并添加一个内部节点和两个叶子，即 net 是 +1 个内部节点和 +1 个叶子。因为你从一个叶子和 0 个内部节点开始，你总是有 |叶子| = |内部节点|+1 --- 任何树形都可以通过这个过程产生。

这里有 4 片叶子的所有两种形状的树的例子（除了琐碎的左右对称）：

    o        o
   o L      o o
  o L     L L L L
 L L

内部顶点数始终为 3。

【讨论】：

不一定是二叉树。