快速计算 x ^ (1 / y) mod m (模根)答案

【问题标题】：calculate x ^ (1 / y) mod m fast (modular root)快速计算 x ^ (1 / y) mod m (模根)
【发布时间】：2018-09-17 19:59:41
【问题描述】：

如何快速求解 x ^ ( 1 / y ) mod m，其中 x, y, m 都是正整数？

这是反转 x ^ y mod m 的计算。例如

甲方与乙方提前商定正整数y和m

甲方生成一个数x1（0

乙方计算x2 ^ ( 1 / y ) mod m, 从而得到x1

我知道如何快速计算 x1 ^ y mod m，但我不知道如何快速计算 x2 ^ (1 / y) mod m。有什么建议吗？

我不知道如何称呼这个问题。给定 x ^ y mod m 称为模幂，这叫模根吗？

【问题讨论】：

对我来说这个算法似乎不正确 - 请注意 x^y 始终是整数给定 x 和 y 是整数但 x ^ (1/y) 不是这意味着通过使用此操作你会走出你的有限领域，这很糟糕。虽然可能根运算在模运算中有一些不同的定义。
作为x1^y mod m = x2，所以x1^y = mq + x2。你是怎么从x2^(1/y) mod m 得到的x1 等于x1？
我认为您应该将这个问题称为“破坏 RSA 密码学”，不是吗？ ;-)

标签： algorithm number-theory

【解决方案1】：

我想你在问这个问题：给定 y、m 和 x^y (mod m) 的结果找到 x（假设 0

一般来说，这没有解决方案——例如，对于 y=2, m=4, 0^2, 1^2, 2^2, 3^2 = 0, 1, 0, 1 (mod 4)，所以如果你得到一个数字 mod 4 的平方，你就无法取回原来的数字。

但是，在某些情况下，您可以做到。例如，当 m 是质数并且 y 是 m-1 的互质数时。然后可以找到 y' 使得对于所有 0

注意 (x^y)^y' = x^(yy')。忽略 x=0 时的平凡情况，如果 m 是素数 Fermat 小定理告诉我们 x^(m-1) = 1 (mod m)。因此我们可以解 yy' = 1 (mod m-1)。假设 y 和 m-1 互质，这有一个解决方案（可以使用扩展的欧几里得算法找到）。

这是工作代码，其中 y=5，m=17 的示例。它使用来自https://en.wikibooks.org/wiki/Algorithm_Implementation/Mathematics/Extended_Euclidean_algorithm的模块化逆代码

def egcd(a, b):
    if a == 0: return b, 0, 1
    g, x, y = egcd(b%a, a)
    return g, y - (b//a) * x, x

def modinv(a, m):
    g, x, y = egcd(a, m)
    if g != 1:
        raise AssertionError('no inverse')
    return x % m

def encrypt(xs, y, m):
    return [pow(x, y, m) for x in xs]

def decrypt(xs, y, m):
    y2 = modinv(y, m-1)
    return encrypt(xs, y2, m)

y = 5
m = 17

e = encrypt(range(m), y, m)
print decrypt(e, y, m)

RSA 基于 m 是两个不同素数 p、q 的乘积的情况。与上述相同的想法适用，但需要找到 y' 使得 yy' = 1 (mod lcm((p-1)(q-1)))。与上述不同，仅给定 y 和 m 并不能轻易做到这一点，因为没有已知的有效方法可以找到 p 和 q。

【讨论】：