如何快速计算这个系列模m的总和？

Question

所以我遇到了这个问题，我需要计算这个：

1^k+(1+p)^k+(1+2*p)^k+.....+( 1+n*p)^k % p

其中 p 是质数，k 是严格小于 p 的某个数。

p 小于 500，n*p 最大可达 10⁹

我能想到的唯一解决方案是从第一项迭代到最后一项并使用指数计算模数，但这太昂贵了，我正在寻找一种更快的算法。

有没有可能做得更快？

Answer 1

对于任何整数m、(1+m*p)^k % p == 1。

因此，计算

(1^k + (1+2*p)^k  + (1+3*p)^k + ... + (1+n*p)^k )% p

和计算一样

(1 + 1 + 1 ... + 1) % p

括号中有n + 1 的地方。

因此答案是(n + 1)%p。