整数mod m的阶乘快速计算[重复]

Question

是否可以在不循环整个表达式链的情况下计算 Factorial(x) mod m

((1 % m) * (2 %m) * (3 % m) * ... (x % m)) % m?

更准确地说，m 可以是 1 m x : 1x

Answer 1

Factorial 的快速算法很少

• 所以答案是：是的，您无需遍历所有值即可计算阶乘
• 我看到的都是素数分解（包括我的算法）
• 因此，只需使用模乘法而不是普通乘法即可
• 看这里：Fast exact bigint factorial 是我的快速算法
• 另一个答案还包含指向摆动素数算法的链接...

[备注]

• 对于N!，您需要一个素数列表，直到N
• 但其余代码可以处理能够容纳N,m的算术
• 所以不需要庞大的数字...

[edit1] 我的 32 位 C++ 实现

//---------------------------------------------------------------------------
DWORD modmul(DWORD a,DWORD b,DWORD n)
    {
    DWORD _a,_b,_n;
    _a=a;
    _b=b;
    _n=n;
    asm {
        mov eax,_a
        mov ebx,_b
        mul ebx     // H(edx),L(eax) = eax * ebx
        mov ebx,_n
        div ebx     // eax = H(edx),L(eax) / ebx
        mov _a,edx  // edx = H(edx),L(eax) % ebx
        }
    return _a;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD modfact0(DWORD n,DWORD m)         // (n!) mod m (naive approach)
    {
    DWORD i,f;
    for (f=1,i=2;i<=n;i++) f=modmul(f,i,m);
    return f;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD modfact1(DWORD n,DWORD m)         // (n!) mod m (mine fast approach)
    {
    if (n<=4)
        {
        if (n==4) return 24;
        if (n==3) return  6;
        if (n==2) return  2;
        if (n==1) return  1;
        if (n==0) return  1;
        }
    int N4,N2,p,i,j,e; DWORD c,pp;
    N4=(n>>2)<<2;
    N2=N4>>1;
    c=modfact1(N2,m); c=modmul(c,c,m);  // c=((2N)!)^2;
    for (i=0;;i++)                      // c*= T2
        {
        p=primes_i32.dat[i];
        if (!p) break;
        if (p>N4) break;
        for (e=0,j=N4;j;e+=j&1,j/=p);
        if (e)                          // c*=p^e
            {
            if (p==2) c<<=e;
            else for (pp=p;;)
                {
                if (int(e&1)) c=modmul(c,pp,m);
                e>>=1; if (!e) break;
                pp=modmul(pp,pp,m);
                }
            }
        }
    for (i=N4+1;i<=n;i++) c=modmul(c,i,m);
    return c;
    }
//---------------------------------------------------------------------------

素数：

• DWORD primes_i32.dat[] 是直到 n 的所有素数的预计算排序（升序）列表

结果如下：

[  18.529 ms] slow modfact0(1000000,1299721) = 195641
[   2.995 ms] fast modfact1(1000000,1299721) = 195641
[  96.242 ms] slow modfact0(5000000,9999991) = 2812527
[  13.305 ms] fast modfact1(5000000,9999991) = 2812527

• 1299721 是我发现的第一个接近 1000000 的素数
• 如果m 不是质数并且子结果为零，那么您可以忽略其余的乘法以大幅加快速度...

希望结果OK 没什么可比的……