使用具有中心极限定理的 Matlab 的偏置模具的 PDF 和 CDF

Question

我正在尝试使用中心极限定理（CLT）为 10^4 个样本绘制偏模卷的 PDF 和 CDF。

骰子有偏差或不公平，其中偶数边的可能性是奇数边的两倍。这是 diefaces = [1,3,2,4,6,2]。在这种情况下，我可以在 Matlab 中使用什么来找到奇数的概率，其中 Sn = X1 + X2 + ... + Xn ， n = 40。

这是我到目前为止所尝试的。我正在努力的部分是传递样本，在这种情况下是 10^4 和 n=40。感谢任何帮助....

clear
% Roll the dice "numberOfRolls" times
numberOfRolls = 10000; % Number of times you roll the dice.
% Biased die with even sides twice as likely as a odd number
diefaces = [1,3,2,4,6,2];
n = 1; % Number of dice.
maxFaceValue = 6;
% Pick a random number from diefaces along with the number of rolls which
% is not working :(
x = diefaces(randperm(numel(diefaces),1),10000)


    S1 = cumsum(x)
    hist1= histogram(S1(1,:),'Normalization','pdf','EdgeColor', 'blue', 'FaceColor',  'blue')

Answer 1

定义您的模具并为您的自定义模具获取有效的probability mass function (PMF)。您可以通过确保 sum(Prob) 等于 1 来验证 PMF。请注意，通过将 RelChance 设置为 [1 1 1 1 1 1] 可以获得公平骰子。

下面的骰子面概率是[1/9 2/9 1/9 2/9 1/9 2/9]。

Die = [1 2 3 4 5 6];
RelChance = [1 2 1 2 1 2];            % Relative Chance
Prob = RelChance./sum(RelChance);     % probability mass function for die

您可以使用datasample() 来模拟掷骰子的结果（需要统计工具箱）。如果绝对必要的话，这很容易通过几种方法进行硬编码。

下面的代码读取sampleNumRolls很多次Die有概率Prob(ii)代表概率的 Die(ii)。

% MATLAB R2019a
NumRolls = 13;                        % Number of rolls 
Rolls = datasample(Die,NumRolls,'Weights',Prob);

现在，使用它来实现既定目标。与这篇文章类似，创建一个数组X，其中第一行是 X1 的实现，第二行是 X2 的实现，依此类推。这不必太花哨。

再一次，使用cumsum() 获得沿列的累积总和。这意味着第一行是来自S1=X1 的实现，第二行是来自S2=X1+X2 的实现，第40 行是来自S40 = X1 + X2 + ... + X40 的经验样本。

n_max = 40;
NumRolls = 10000;
X = zeros(n_max,NumRolls);
for n = 1:n_max
    X(n,:) = datasample(Die,NumRolls,'Weights',Prob);
end
Sn = cumsum(X);

如何绘图？此时，由于我们的变量名称与流程匹配，其余步骤（绘图）与this post 相同，但有一些小的修改。由于这是离散（非连续）数据，我使用histogram() 的'Normalization','probability' 选项生成了下面的图。对probability density function (PDF) 的引用已相应地重新标记为probability mass function (PMF)。

---

中心极限定理的连续版本发布在here。

Answer 2

您可以生成 10000 次不公平掷骰的结果，其中偶数边的概率是奇数边的两倍。

首先，让我们定义骰子的奇数边和偶数边

odd = [1 3 5];
even = [2 4 6];

画出 10000 个均匀分布的数字。

r = rand(10000,1);

分配一些结果变量

rolls = zeros(10000,1);

如果您现在在1/3 处拆分随机数，则您有概率为1:2 的奇数和偶数。由于（我假设）在奇数和偶数内，概率是一致的（即获得 3 的概率与获得 1 的概率相同，依此类推），使用一致的随机数来分配相应的值。

使用逻辑索引

rolls(r>1/3) = even(randi(3,sum(r>1/3),1));
rolls(r<=1/3) = odd(randi(3,sum(r<=1/3),1));

绘制结果

histogram(rolls)

要使用 CLT 生成 PDF 和 CDF，请使用 answer to your previous question，但使用如上生成的分布。