在 R 中生成具有预定义的 pdf 总和或 cdf 总和的 RNG 向量

Question

我是一个新的 R 用户，我正在尝试生成具有基于特定分布（例如使用 rnorm 命令）随机生成的数字的向量，这些向量具有预定义的概率密度总和或累积分布总和.

例如，当生成向量 x1, x2 ... xn 时，我希望它们服从任一

sum(pnorm(x1)) = sum(pnorm(x2)) = … sum(pnorm(xn))

或

sum(pnorm(xi)) = ”fixed value”

或者做同样的事情，但使用 dnorm。换句话说，在 R 中使用 rnorm 或任何其他 RNG 时是否有可能设置此类参数？

我们也非常感谢您提供有关策略而非完整解决方案的提示和建议。

非常感谢您抽出宝贵时间。

Answer 1

1. 在高斯分布的情况下， 在X1+...+Xn=s 的条件下从(X1,...,Xn) 采样 只是从一个 conditional Gaussian distribution.

向量 (X1,X2,...,Xn,X1+...+Xn) 具有高斯分布，均值为零， 和方差矩阵

1 0 0 ... 0 1
0 1 0 ... 0 1
0 0 1 ... 0 1
...
0 0 0 ... 1 1
1 1 1 ... 1 n.

因此，我们可以从中采样如下。

s <- 1  # Desired sum
n <- 10
mu1 <- rep(0,n)
mu2 <- 0
V11 <- diag(n)
V12 <- as.matrix(rep(1,n))
V21 <- t(V12)
V22 <- as.matrix(n)
mu <- mu1 + V12 %*% solve(V22, s - mu2)
V  <- V11 - V12 %*% solve(V22,V21)
library(mvtnorm)
# Random vectors (in each row)
x <- rmvnorm( 100, mu, V )
# Check the sum and the distribution
apply(x, 1, sum)
hist(x[,1])
qqnorm(x[,1])

对于任意分布，这种方法需要您计算条件分布，这可能并不容易。

2. 还有另一种简单的特殊情况：均匀分布。

要均匀采样 n 个（正）数，总和为 1， 你可以取 n-1 个数字， 均匀地在 [0,1] 中， 并对它们进行排序：它们定义了 n 个区间， 其长度总和为 1，并且恰好是均匀分布的。

由于这些点形成泊松过程， 您还可以使用指数分布生成它们。

x <- rexp(n)
x <- x / sum(x)  # Sums to 1, and each coordinate is uniform in [0,1]

下面的文章解释了这个想法（有很多图片）： Portfolio Optimization for VaR, CVaR, Omega and Utility with General Return Distributions, （W.T. Shaw，2011 年），第 6 至 8 页。

3. （编辑）我最初误读了这个问题，它询问的是sum(pnorm(x))，而不是sum(x)。事实证明这更容易。

如果X 具有高斯分布，则pnorm(X) 具有均匀分布： 然后问题是从均匀分布中进行抽样，并具有规定的总和。

n <- 10
s <- 1  # Desired sum
p <- rexp(n)
p <- p / sum(p) * s  # Uniform, sums to s
x <- qnorm(p)        # Gaussian, the p-values sum to s