我在理解用于查找最大流量的 Ford-Fulkerson 算法时遇到了一些麻烦，希望能得到一些帮助。
如果我们看下图，其中源 A 和汇 F 列出了每条边的边容量。
你会注意到节点 B 和 C 有一条双向边，B-C 的容量为 8，C-B 的容量为 3。
现在，假设找到的第一条路径是 A-B-C-F，其中瓶颈容量为 8。因此，我们在创建此图的路径上推送 8 个流：
现在假设下一条路径是 A-C-B-D-F。
我的问题是我们现在能够通过 C-B 推动多少流量？是通过使用 8 个已经推送的流和另一边的 3 个容量来获得 11 个，还是只有 3 个或可能是 8 个？
感谢您的宝贵时间。
【问题讨论】：
标签： graph max-flow ford-fulkerson
我认为您错误地构建了第二个残差图。这是我从第一张图中准备的版本。
每当您将流传递到增广路径时，您都需要随之调整容量。因此，当您沿路径 A-B-C-F 传递值为 8 的流时，您需要在将下一个流传递到图中之前调整相关边的容量。
因此，值 8 来自边缘 B-C 或 C-F 的瓶颈容量。由于您已经在这两个边缘中通过了最大流量，并且您不能通过超过 8 个，因此您已经最大限度地利用了这些边缘的容量。这概括为这样一种想法，即每当您使用某些边传递一些流时，您都需要使用加上后向边的容量并从前向边中减去的流值来绘制后向边。
您可以从我的第二张图表中看到这一点。由于 B-C 没有更多容量来承载额外的流量（8 - 8 = 0），我省略了边缘并将容量添加到反向边缘（即容量增加到 3 + 8 = 11 的 C-B）。同样的事情也发生在 C-F 身上。
现在对于 A-B，由于我们已经通过了 8 路以及容量为 10 的路径，我们还有 2 个容量可以通过更多的流量。因此，我们从 A-B 中减去该值并得到 (10 - 8 = 2)。我们还添加了正在创建的反向边缘 B-A，并添加了流量值（即 0 + 8 = 8）。
现在我们已经正确构建了残差图，剩下的唯一可以承载从 A-F 流的增广路径是 A-B-D-F，流值为 2（瓶颈容量为 2）。
因此最大流量值（总流量值）为 8 + 2 = 10
希望对您有所帮助！
【讨论】：