为什么图的邻接表 BigO 是 (V + E) 而不是 (V^2)？

Question

如果我的想法是错误的，请纠正我。我认为 BigO(V + E) = BigO(V^2)。

以下是我的想法：
完整图中的边 = n*(n-1)/2。

从 E 和 V 切换到 n，因为这样想更容易。

E = n*(n-1)/2
V = n

BigO(V + E) => BigO(n + n*(n-1)/2) => BigO(n^2)

将 n 切换回 V。

=> BigO(v^2)

我错过了什么吗？为什么使用 BigO(V + E)？为什么不使用 BigO(V^2)？

Answer 1

邻接表的内存使用量与节点数和边数之和成正比。这是因为每个节点都有一个离开它的边的关联列表，并且每条边最多出现两次（对于它在无向图中接触的每个节点一次，或者对于有向图一次）。这意味着空间使用量是Θ(V + E)。

您对内存使用量给出了两个不同的渐近界限，O(V + E) 和 O(V²)。这两个界限都是正确的，但一个比另一个更紧。 O(V + E) 界更准确地表明有两个半独立的量进入空间使用，节点数和边数，并且更精确。 O(V²) 界限不太精确，但通过考虑以 V 表示的 E 的最大可能值，给出了总内存使用量的最坏情况界限。换句话说，O(如果您试图精确控制内存使用情况，V + E) 界限会更有用，但如果您担心最坏情况的内存，O(V²) 界限会更好用法。

（快速说明：“邻接表是 O(V + E)”这句话没有意义。由于 big-O 量化了函数的增长率，所以就像说“邻接表是 95,201 " - 这是没有意义的，因为您正在将一个对象与一个数字进行比较。但是，您可以说“邻接表的空间使用量是 O(V + E)”，因为邻接表的空间使用量是一个实际的数字量。 )

Answer 2

BigO 用于根据输入大小估算您将使用多少 <time, memory, whatever resource>。

当您构建邻接列表时，您会知道顶点数 V 和边数 E。现在你想估计你需要多少内存。

O(V+E) 可以解释为V > E ? O(V) : O(E) 什么意思：它对max(V,E) 是线性复数。

您为每个 v 创建一个列表，因此您在其上使用 O(V) 内存。 您标记每个边缘，这将使用 O(E) 内存。 O(V+E) 就是这个意思。如果您说复杂度是O(V^2)，这意味着对于带有2*n 顶点的空图，您应该使用大约。 4 的内存比带有n 顶点的空图多。

在对复杂性进行一些研究时，您可以测试不同的方法：

• 最坏的情况，
• 平均情况，
• 最好的情况。

如果您希望获得更多信息，请阅读有关该主题的不同方法并发表评论。

编辑

根据正式定义，O(V+E)、O(V^2)、O(V^3) 和O(V^V^V) 仍然是正确的。在BigO 中，我们尝试找到增长最慢但仍然是BigO 的函数。

Answer 3

这两种说法都是正确的。它们并不矛盾。

在任意图上，资源使用量为 O(V²)。但是在可能出现稀疏图的问题域中，资源使用量是 O(V+E)。这提供了更多信息。

邻接表通常用于图可能稀疏的问题领域。对于密集图，数组通常是更好的解决方案。如果您正在考虑两种可能的算法来解决图问题，则需要考虑您对图的了解。出度是否受到限制？在这种情况下，邻接表表示和相关算法可能是更好的解决方案。

复杂性分析不仅仅是一个理论游戏。这是一种组织您思考实际编程问题的实用解决方案的方法。