Prim 的斐波那契堆算法：为什么是 O(E + V*log(V))？答案

【问题标题】：Prim's algorithm with Fibonacci heap: why O(E + V*log(V))?Prim 的斐波那契堆算法：为什么是 O(E + V*log(V))？
【发布时间】：2018-12-18 06:09:38
【问题描述】：

我知道 Prim 的算法以及如何实现它。我也知道为什么它的时间复杂度是 O(E + V log(V))。

我们添加边 E 次（即 O(E)）并选择最小 V 次（即 O(V*log(V)）。但我不明白其中的一部分：为什么 V 次？ ! 我知道一棵树有 V-1 条边，但如果最重的边必须在 MST 中，我们必须选择最少 E 次，而不是 V 次。

例如：一个完整的图，每条边的权重为 1，除了一个顶点，所有与其相连的边的权重为 10^18。

【问题讨论】：

您将顶点放入队列中，而不是边。见en.wikipedia.org/wiki/Prim%27s_algorithm
但那是不可能的！ c++ priority_queue 没有随机访问或任何类型的迭代器。
您问的是使用斐波那契堆，而不是 C++ 优先级队列。获得 O(E + V log V) 依赖于 C++ priority_queue 不提供的恒定摊销时间 reduction_key 操作。

标签： algorithm graph-theory minimum-spanning-tree disjoint-sets fibonacci-heap

【解决方案1】：

您想使用初始图中的边连接 V 个顶点，形成一棵树。您可以从任何节点开始，比如说 v。然后将可以从 v 到达的所有顶点添加到队列中，并以连接它的边的成本为代价。你去成本最低的那个。现在你做同样的事情。如果您想将已经在队列中的顶点 u 放入队列中，则必须检查其边缘的工资。如果新的较小，则取出旧的并插入新的，如果没有，则跳过它。此外，如果您已经将节点 u 连接到您的树，您也可以跳过它。所以你的队列中最多有 V 个顶点，使得时间复杂度 O (E + V log V) (E - 因为你必须检查每个顶点的所有边)

编辑：更具体地说，当您将顶点 u 再次添加到队列中时，您可以删除前一个，或者只是更改它的成本。如果您使用斐波那契堆，另一件事应该会更快。删除将花费您 O(E log V) 而不是 O(E + VlogV)

【讨论】：

您在询问是否将顶点保留在优先级队列中。制作一个节点数组并给每个节点一个 id。然后在你的队列中保留对 .