展开方法：当 n = 0 和 2T(n-1) + 1 时 T(n) = 1答案

【问题标题】：Unrolling Method For: T(n) = 1 when n = 0 and 2T(n-1) + 1展开方法：当 n = 0 和 2T(n-1) + 1 时 T(n) = 1
【发布时间】：2019-06-20 07:24:14
【问题描述】：

对于

当 n = 0 时 T(n) = 1
T(n) = 2T(n-1) + 1 否则

我知道我们应该寻找模式并理解问题，直到我们开始用不同的变量转换方程。但是，一旦我到达那里，我不明白它是如何完成的以及为什么要完成某些事情。

我的问题是我们在 2ⁱ·T(n-1) 处将 i 替换为 n。但是，完整的解释也会很有用！

【问题讨论】：

我投票结束这个问题，因为它是一个数学问题，而不是一个编程问题。
我投票决定将此问题作为离题结束，因为它属于另一个站点。 math.stackexchange.com 或许？

标签： algorithm math recurrence

【解决方案1】：

同理 99999₁₀ 是 100000₁₀ - 1, 11111₂ 是 100000₂ - 1.

有两种方法来看待这个问题。一个是来自一些任意的 n 向后工作，您的描述已经涵盖了。我发现另一种有用的方法是从零开始，一直到 n：

T(0) = 1
T(1) = 1
T(2) = 3
...

这里 n 个连续的一位等价于 2^{n + 1} - 1。

您问题中的解释只是使用 i 作为从 1 到 n 的计数器。它不是等式的一部分，除了作为计步器。在最后一步中，i = n，因此您可能会对转换感到困惑。

【讨论】：

【解决方案2】：

第一次看到公式时，我遇到了和你一样的问题。但让我们从头开始。
首先，您尝试通过i 逐步接近最终深度n。因此，对于每个数字i，您可以解析公式i 次（在图片中为i=1、i=2、i=3、i=4），但要注意您还不能解析T(n-i)。但是您可以推导出i=n 的模式。此行实际上以错误开头：图片显示i=n-i，但实际上应该是i=n，因为您已到达底部。
其余的很简单：你写下你看到的模式并将其放入一个求和公式 (Sum_{j=0}^{i-1}2^j)。您将i 替换为n，因为这是该行的前提。您将T(n-n) 替换为T(0)=1。接下来应用有限几何级数，因此去掉了和符号。其余的应该是清楚的。

【讨论】：