如何求解递归 T(n) = 2T(n^(1/2)) + log n？ [关闭]答案

【问题标题】：T(n)=2T(n−−√)+logn [closed]如何求解递归 T(n) = 2T(n^(1/2)) + log n？ [关闭]
【发布时间】：2012-10-17 17:19:04
【问题描述】：

我正在尝试找出重复的时间复杂度：

T(n) = 2T(n^1/2) + log n

我非常接近解决方案，但是遇到了障碍。我需要解决：

n^{(1/2^k)} = 1

for k 来简化我的替换模式。我不是在寻找复发的答案，只是k 的解决方案。

【问题讨论】：

我认为这不会有帮助。如果你为k 解决了这个问题，你会得到一些非常可怕的东西。
我投票结束这个问题，因为它是一个数学问题，而不是一个编程问题。
Stack Overflow 是一个编程和开发问题的网站。这个问题似乎离题了，因为它与编程或开发无关。请参阅帮助中心的What topics can I ask about here。也许Mathematics Stack Exchange 会是一个更好的提问地点。

标签： math logarithm recurrence

【解决方案1】：

老兄，如果它是等式的快速排序：

解决方案是O(n*log(n))，因为对于某些N，现在它甚至更小（T(n) ~ n^1/2），这意味着您的复杂性低于O(n*log(n))。

尝试使用归纳法来证明你的界限

【讨论】：

是的，我同意，因为合并是次线性的，并且输入大小也小得多。然而，如果一切都失败了，我会尝试归纳，但我只是很好奇我如何解决形式为 c^a^b = 1 的方程。我知道这涉及到一些使用权力身份的诡计。

【解决方案2】：

以 1 为底的任何值都是 0。

所以

n^((1/2)^k) = 1

log(n)(n^((1/2)^k)) = log(n)(1)

1/2^k = 0

log(1/2)((1/2)^k) = log(1/2)(0)

以 0 为基数的任何值都是负无穷大......所以......

k = -无穷大。

我认为你应该为 n 使用不同的“最终数字”，而不是 1 只是说...

【讨论】：

主要是因为在 1 之前你永远无法继续平方根。你会发疯的。

【解决方案3】：

无法解决

n^{(1/2^k)} = 1

对于 k，因为如果 n > 1，那么对于任何非零 x，n^x > 1。解决这个问题的唯一方法是选择 k 使得 1 / 2^k = 0，但这是不可能的。

但是，您可以解决这个问题：

n^{(1/2^k)} = 2

首先，取双方的日志：

(1 / 2^k) lg n = lg 2 = 1

接下来，两边都乘以 2^k：

lg n = 2^k

最后，再记录一次：

lg lg n = k

因此，一旦 k = lg lg n，此循环将停止。

虽然您只询问了 k 的值，但自从您询问以来已经整整一年了，我想我想指出您可以通过变量替换来解决这个问题。尝试设置 k = 2ⁿ。那么k = lg n，所以你的循环是

T(k) = 2T(k / 2) + k

这解决了（使用主定理）T(k) = Θ(k log k)，并且使用 k = lg n 这一事实，整体递归求解为 Θ(log n log log n)。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

先生，我可以这样解决吗 -:T(n) = 2T(n1/2) + log n =>T(2^m)=2T(2^(m/2) )+log 2^m =>T(2^m)=2T(2^(m/2))+m=>让 2^m=k=>S(k)=2S(k/2)+log k
关闭！如果你插入 k = 2^n，当你将 log n 项表示为 k 的函数时会发生什么？

【解决方案4】：

当您开始展开递归时，您会得到：

这里是同样的事情，但需要几个额外的步骤：

现在使用边界条件进行递归（数字 2 选为 0 和 1 没有意义），你会得到：

将k 代入你将得到的等式：

这里有几个使用相同想法的递归。

【讨论】：

先生，在这里查看我的方法i.stack.imgur.com/C2uiq.png，请帮助我继续前进。谢谢:)
@laura 我认为我的解决方案没有问题。我添加了一些中间步骤。
是的，你是对的。非常感谢！