递归关系 T(n) = T(T(n - 1)) + 1 有什么解吗？答案

【问题标题】：Is there any solution for recurrence relation T(n) = T(T(n - 1)) + 1?递归关系 T(n) = T(T(n - 1)) + 1 有什么解吗？
【发布时间】：2021-08-30 14:27:19
【问题描述】：

这个递归关系有什么解决办法

T(n) = T( T( n - 1 ) ) + 1

来自类似 C 语法的代码

Algo(int n)
{
    printf("%d ->",n);
    return (n >= 1)?Algo(Algo(n - 1))+1:1;
}

#include <stdio.h>
int main(void){
    printf("\tEnd: %d",Algo(3));
    return 0;
}

结果：

3->2->1->1->2->1->1 结束：3

如何找到这种关系的时间复杂度？

谢谢

【问题讨论】：

如果基本情况是T(1) = 1，那么T(n) = n。归纳证明：如果T(n - 1) = n - 1，那么T(n) = T(T(n - 1)) + 1 = T(n - 1) + 1 = n - 1 + 1 = n。
它还会返回吗？似乎是无限递归。
'时间复杂度'将取决于你是想递归函数..还是你想使用简化的函数。

标签： algorithm data-structures tree time-complexity recurrence

【解决方案1】：

有什么解决办法

取决于T(0) 的值，并假设n = 0,1,2 ... 有一个解决方案：

T(n) = T(0) + n

证明：

n	T(n)	T(n)
0	T(0) =	X
1	T(1) =	T(0)+1 = (X)+1
2	T(2) =	T(1)+1 = (X+1)+1
3	T(3) =	T(2)+1 = (X+1+1)+1
4	T(4) =	T(3)+1 = (X+1+1+1)+1
5	T(5) =	T(4)+1 = (X+1+1+1+1)+1
6	T(6) =	T(5)+1 = (X+1+1+1+1+1)+1
7	T(7) =	T(6)+1 = (X+1+1+1+1+1+1)+1
8	T(8) =	T(7)+1 = (X+1+1+1+1+1+1+1)+1

如果解决方案/假设可以接受，请分享。 ( :

【讨论】：