递归关系 T(n) = T(3/4 * n) + O(1)答案

【问题标题】：Recurrence Relation T(n) = T(3/4 * n) + O(1)递归关系 T(n) = T(3/4 * n) + O(1)
【发布时间】：2010-12-05 18:23:22
【问题描述】：

我正在计算递归关系

T(n) = T(3/4 * n) + O(1)

它是O(log(n))，但我事先被告知解决方案是O(n)。我找不到哪里出错了——这看起来就像二分搜索的递归关系。有什么建议吗？

【问题讨论】：

或者可能，我预先给出的答案是错误的，只是想找出哪个。

标签： recursion complexity-theory recurrence

【解决方案1】：

T(n) = T(3/4 * n) + O(1) ......(1) 在上面的等式中。 T(3/4 * n) 是未知项，如果你问这个递归的解决方案，那么我想说我们可以解决这个方程。使用替代方法。在此我们必须从主方程中找出 T(3n/4) 的值。并在等式中替换。递归地。因为这种递归取决于递归。 n=3n/4 T(3n/4)=T((3/4)^2 * n)+ c .............(2) 符号 O 由常数 c 代替。现在替换 (1) 中的 T(3n/4) T(n)= T((3/4)^2 * n) +2c ....................(3) 现在将 n=((3/4)^2 * n) 放入 (1) T((3/4)^2 * n)=T((3/4)^3 * n)+c 代替 T(n)= T((3/4)^3 * n)+3c ....................(4)

在第 k 步 eq 之后。将会 T(n)=T((3/4)^k * n)+kc ......(5) 在这一步 n 将是 2 或 1(输入大小) (3/4)^k * n= 1 n=(4/3)^k 通过在两边取日志。对数（n）=k*对数（4/3） k=log(n) ...... 在等式中放置值。 (5) T(n)=T(1)+log(n) * c ...................(6) T(n)= O(log n)

【讨论】：

【解决方案2】：

尝试将T(n) = c*n 或T(n) = c * log n 代入方程并求解。这两个方程之一将是可解的。

您还可以通过评估不同 n 值的函数来检查您的答案。

-- Define T in your preferred language
t n | n <= 1 = 1 | otherwise = t (3/4 * n) + 1

-- If it's O(log n), then T(n)/log(n) should be asymptotically constant
-- If it's O(n), then T(n)/n should be asymptotically constant
check1 n = t n / log n
check2 n = t n / n

print [check1 1e10, check1 1e11, check1 1e12, check1 1e13]
print [check2 1e10, check2 1e11, check2 1e12, check2 1e13]

其中一个将收敛到一个小的正数，另一个将趋于零或无穷大。

【讨论】：

【解决方案3】：

给出的答案没有显示解决这种重复的正确方法。你的情况很容易用Masters theorem 解决，在你的情况下a=1 和b=4/3。这意味着c = logb(a) = 0。

因为您的f(n) 是一个常数，所以您属于第二种情况，其中k=0。所以解决方案是，其中c = 0 和k = 0。这意味着：

O(log(n)) 是正确答案

【讨论】：