C 编程中 cos x 和 sin x 的泰勒级数展开，不使用 math.h 且仅在 int main() 内部答案

【问题标题】：Taylor Series Expansion of cos x and sin x in C Programming without using math.h and only inside int main()C 编程中 cos x 和 sin x 的泰勒级数展开，不使用 math.h 且仅在 int main() 内部
【发布时间】：2016-02-01 08:18:02
【问题描述】：

我正在为我们学校做一个项目，我们需要创建一个程序来计算 sin x 和 cos x 的泰勒展开级数的近似值，只使用 <stdio.h> 和 不使用除int main() 之外的用户定义函数，从-180 到180 的所有角度，增量为+5。以下是我的代码：

#include <stdio.h>
#define PI   3.141592653589
#define NUMBER_OF_TERMS    10

int
main()
{
    int cosctr, sinctr;
    double ctr, radi;
    double cosaccu, costerm, sinaccu, sinterm;

    for (ctr = -180; ctr < 185; ctr = ctr + 5) {
        radi = ctr * PI/180.0;
        cosctr = 1;
        cosaccu = 1;
        costerm = 1;
        sinctr = 2;
        sinaccu = radi;
        sinterm = radi;
        while (cosctr <= 2*NUMBER_OF_TERMS) {
            costerm = costerm*(-1)*(radi*radi)/(cosctr*(cosctr + 1));
            cosaccu = cosaccu + costerm;
            cosctr+=2;
        } do {
            sinterm = sinterm*(-1)*(radi*radi)/(sinctr*(sinctr + 1));
            sinaccu = sinaccu + sinterm;
            sinctr+=2;
        } while (sinctr <= 2*NUMBER_OF_TERMS);
        printf("%.2lf      %.12lf      %.12lf      %.12lf\n", ctr, radi, cosaccu, sinaccu);
    } return 0;
}

上面的代码对于 15 项展开近似是准确的。但是，如果我将 NUMBER_OF_TERMS 更改为例如 5 或 10，则近似值有缺陷。
有什么建议吗？

让我澄清一下：我需要获得 5 项、10 项和 15 项的近似值。除了<stdio.h>，我不能使用任何其他库。我不能使用int main() 之外的任何其他功能（对于我之前的解释含糊不清，我深表歉意）。
请使用随附的更正代码回答。

【问题讨论】：

你能做的只有这么多，你的任务需要的迭代次数多吗？您需要多少位数的准确度？
在那个程序中，main() 肯定是一个用户定义的函数。换句话说，您的要求很奇怪并且......具有误导性。
“近似值有缺陷”是什么意思？近似值越准确，包含的项越多。这就是它的工作原理。近似值是否比您预期的更不准确？你期望什么输出，它给出了什么？
"请使用包含的更正代码回答。"嗯，没有。您编写代码，我们将帮助您。
其实需要的是0-45(0,5,10,15,20,25,30,35,40,45degrees)的计算。

标签： c taylor-series

【解决方案1】：

sind(degrees) 和 cosd(degrees) 的高进动但简单计算的关键是首先将度数的范围减少到 0 到 90（甚至 0 到 45），使用通常的三角调整与 degree 先安排。

减少：
angle = fmod(angle, 360) // 减少 (-360..360) 或使用 a = a - (int)(a/360)
sin(x) = -sin(-x) // 减少到 [0..360 )
cos(x) = cos(-x) // 减少到 [0..360)
sin(x) = -sin(x-180) // 减少到 [0..180)
cos(x) = -cos(x-180) // 减少到 [0..180)sin(x) = cos(90-x) // 减少到 [0..90)
进一步减少：
对于 [45-90) 使用 sin(x) = cos(90-x) // 减少到 [0..45)

然后转换为弧度并使用泰勒级数展开。

Example

注意：由于代码处理的是double，通常为 17 位精度，无需使用课程 PI 近似值。

// #define PI   3.141592653589
#define PI   3.1415926535897932384626433832795

【讨论】：

【解决方案2】：

我试过你的代码；它对我来说很好，因为它看起来像它设计的那样。这是您的代码在 5 项和 10 项处的余弦输出与 Mathematica 计算的相同近似值之间的比较。他们同意<10^-12，即您输出的精度。：

我在您的代码中看到的唯一问题是，按照您设计循环的方式，如果您计算展开式中的第一项（即余弦的常数项），您实际上是在考虑 NUMBER_OF_TERMS + 1 项，正弦的线性项。）您从第一项开始，然后您的循环添加另一个 NUMMBER_OF_TERMS 项。如果这不是设计使然，那么您实际上是在以您期望的更高精度逼近函数。

【讨论】：

能否请您扩展您的答案？我似乎找不到 NUMBER_OF_TERMS + 1 个
您的循环计算了NUMBER_OF_TERMS 术语，但您在循环开始之前已经计算了一个额外的术语。
哪个循环？您的回答非常含糊，尽管我非常感谢您的回答。我知道这很痛苦，但我是新手，我的教授对项目的规范非常严格
它有什么模糊之处？您的代码中有两个 while 循环。这些用于连续计算近似值中的高阶项。循环内的代码运行了一定次数，即NUMBER_OF_TERMS。假设 NUMBER_OF_TERMS 是 10。您从 while 循环中得到 10 个近似值。但是，您已经在循环开始之前计算了一项。因此，您总共可以获得 11 个术语。
@gabriel_741 你不接受答案有什么原因吗？

【解决方案3】：

根据其定义，泰勒级数是无限系列项的总和。

因此，泰勒有限展开只是真实结果的近似值：随着项数的增加，该近似值的准确性会提高。

如果有足够的项，则在某个点的近似误差变得不明显。但是，如果您尝试减少项数，则近似误差会增加并且可以检测到。

在您的情况下，近似误差低于NUMBER_OF_TERMS= 15 的检测阈值，但在NUMBER_OF_TERMS= 10 或更少时变得明显。

【讨论】：

谢谢，但您的回答没有回答我的问题。您解释了为什么会出现错误，但您没有回答如何更正代码。
常见的技巧是将术语向后求和。想象一下，你向前求和 1/2 + 1/4 + 1/8 等等。在某些时候，由于精度有限，这些项对总和变得可以忽略不计，并且总和不再改变（谐波级数 1/1 + 1/2 + 1/3 ... 是一个经典示例，并且似乎收敛） .一个简单的解决方案是计算项并将其存储在一个数组中，然后从最小值开始向后求和。

【解决方案4】：

随着 x 的增加，sin(x) 和 cos(x) 的泰勒展开需要更长的时间来收敛。但由于这些是周期函数，因此您实际上不需要为 0-90° 范围之外的值扩展系列。

对于超出此范围的 x 值，请使用以下标识：

sin(x) = -sin(x+180°) = -sin(-x) = sin(180°-x)
cos(x) = -cos(x+180°) = cos(-x) = -cos(180°-x)

例如sin(175°) = sin(5°), cos(-120°) = -cos(60°)

【讨论】：

您能澄清一下吗？最好我希望看到您的建议以语义上可接受的方式插入到我的代码中。感谢您的合作。

【解决方案5】：

我在另一个用户的帮助下想通了。原来我正在计算术语 + 1，使答案比预期的更准确。 15 项后的变化超过了小数点后第 12 位，因此没有显示在结果中。

#include <stdio.h>
#define PI   3.141592653589
#define NUMBER_OF_TERMS 10 // 5 and 15 work as well

int
main()
{
    int cosctr, sinctr;
    double ctr, radi;
    double cosaccu, costerm, sinaccu, sinterm; // accu will be final answer, term will be added to accu

    for (ctr = -180; ctr < 185; ctr+=5) { // for loop; ctr initialized at -185 and added to in increments of 5 to produce degrees
        radi = ctr * PI/180.0; // calculation for radians (assigned to radi)
        cosctr = 1; // initialization for cos counter; must be included in loop to allow correct calculations of cos
        cosaccu = 1; // first term is 1
        costerm = 1; // base term, to be multiplied with termcalc formula
        sinctr = 2; // initialization for sin counter; must be included in loop to allow correct calculations of sin
        sinaccu = radi; // first term is x, or degrees in radians (radi)
        sinterm = radi; // base term for sin
     // cos calculation
     while (cosctr < 2*NUMBER_OF_TERMS-1) { // accuracy check, 2* since increments of 2; NOTE: actual values are (1, 3, 5,...)
        costerm = costerm*(-1)*(radi*radi)/(cosctr*(cosctr + 1)); // TERMCALC FORMULA; multiplying previous term with formula creates next term
        cosaccu = cosaccu + costerm; // addition of new term to previous sum; dependent on accuracy (NUMBER_OF_TERMS)
        cosctr+=2;
     } do { // sin calculation; identical to cos, albeit with substituted vars
        sinterm = sinterm*(-1)*(radi*radi)/(sinctr*(sinctr + 1));
        sinaccu = sinaccu + sinterm;
        sinctr+=2;
     } while (sinctr < 2*NUMBER_OF_TERMS-1); // accuracy check, 2* since increments of 2; NOTE: actual values are (2, 4, 6,...)
     printf("%.2lf\t%.12lf\t%.12lf\t%.12lf\n", ctr, radi, cosaccu, sinaccu); // final display; /t used for convenience
 } return 0; // finally!!!
}

【讨论】：