从三个点定义曲线答案

【问题标题】：Defining a curve from three points从三个点定义曲线
【发布时间】：2014-09-10 03:01:03
【问题描述】：

我有一个类，其中存储了三个任意的float 值。我们称它们为 A B 和 C。该类有一个方法，该方法将输入 -1 到 +1 范围内的浮点数，然后根据输入返回一个值。

用值-1调用方法将产生A的值，用0调用它会产生B，用1调用它会产生C。现在的问题是，我怎样才能为所有东西插入一个输出之间？

我正在考虑基于定义为 -1xA 0xB 和 1xC 的三个点的假想曲线/样条曲线。使用可以绘制此曲线的函数，可以计算范围内任何浮点数的输出。

注意：

曲线的确切形式并不那么重要，但它绝不能提供高于 AB 或 C 的输出，也不能提供低于 A、B 或 C 的输出。因为我需要测试一下看看哪种效果最好，我不能说曲线是否必须平滑。
对于存储的浮点值哪个更高或更低没有限制。其中两个甚至可能是相同的。
起初我想用三个点来定义一个圆，但是这可能会导致输出值超出 A B 和 C 的范围

通常我会在这里发布一些代码来说明我到目前为止所拥有的内容，但由于我真的不知道如何解决这个问题，所以我认为只发布一个空函数定义没有任何意义。

PS：

如果有人好奇为什么，我使用来自控制器的输入来定义关节的角度，所以输出值永远不会超出 -180 到 +180 的范围

【问题讨论】：

【解决方案1】：

最简单的答案是分段线性函数，如other answer。

但是，评论说“任何不会导致尖峰或狭窄坑的平滑曲线”。

第二个最简单的答案是使用通过 3 个点的唯一抛物线（二次插值），但这违反了所有值必须介于 min(A,B,C) 和 max(A,B,C) 之间的要求。

所以我们坚持第 3 个最简单的答案：在 0 处使用导数为 0 的分段二次函数：

f(x) = B + (C-B) * x^2  when x is in [0,1]
       B + (A-B) * x^2  when x is in [-1,0]

【讨论】：

【解决方案2】：

让我们使用三个点（-1，A），（0，B），（1，C）来定义一个分段线性函数

f(x) = (B-A)(x+1)+A if x in [-1, 0)
     = (C-B)x+B if x in [0, 1]

（如果有人知道 TeX 并且想通过各种方式使它变得漂亮）......

平滑函数有一些非常奇特的插值方法，通过使 f(x) 在 x = B 处可微，但是自从我的数值分析课以来已经有一段时间了......

【讨论】：

【解决方案3】：

分段线性插值尊重约束，但仅 C0 连续。

您可以通过分段抛物线插值 (y = A x(x-1)/2 + B (x+1)(1-x) + C x(x+1)/2) 实现 C1 连续性，但您必须确保这两个部分是单调的（没有最大值，可能在端点处除外）。

首先尝试抛物线插值。导数是线性的 (y' = A (2x-1)/2 + B 2x + C (2x+1)/2))。如果 -1 和 +1 处的导数符号相同，则完成。否则使用3.@sds的解决方案。

【讨论】：

【解决方案4】：

只找到合适的两点之间的中点怎么样？

给定 i 作为 -1 和 1 之间的输入：

if i < 0 then point.x = (a.x+b.x)/2 and point.y = (a.y+b.y)/2
if i > 0 then point.x = (b.x+c.x)/2 and point.y = (b.y+c.y)/2

【讨论】：