进/出活变量计算算法说明

Question

This slide 显示了为控制流图节点计算 in[n] 和 out[n] 的算法。我很难理解它是如何工作的。我已经看到了一些其他的变化，也很难理解它们。我以前从未处理过定点的东西。

for each n
  in[n] := {}; out[n] = {}
repeat
  for each n
    in’[n] := in[n]; out’[n] := out[n]
    in[n] := use[n] ∪ (out[n] - def[n])
    out[n] := ∪ {in[s] | s ε succ[n]}
  until in’[n] = in[n] and out’[n] = out[n]
  for all n 

问题是，这个算法在做什么/更直观的解释。我不明白in' 和out' 是什么，以及结束条件是什么意思（until in'...）。不遵循嵌套循环。我对 JavaScript 实现的尝试显示了我缺少的部分：

var in = {}
var out = {}
var in2 = {}
var out2 = {}
var use = {}
var out = {}
var def = {}

for (var i = 0, n = nodes.length; i < n; i++) {
  var node = nodes[i]
  in[node] = []
  out[node] = []
  // assume these are already filled out:
  use[node] = []
  out[node] = []
  def[node] = []
}

while (true) {
  for (var i = 0, n = nodes.length; i < n; i++) {
    var node = nodes[i]
    in2[node] = in[node]
    out2[node] = out[node]
    // assume ∪ and - work on arrays
    in[node] = use[node] ∪ (out[node] - def[node])
    // ? not sure the ∪
    out[node] = ∪ {in[s] | s ε succ[n]}
  }

  // until in’[n] = in[n] and out’[n] = out[n]
  // for all n
}

任何帮助将不胜感激。谢谢。

Answer 1

最小不动点算法适用于以下情况：您有有限数量的集合，其成员来自有限的宇宙，并且每个集合的成员（可能）取决于其他集合的成员，特别是通过包含元素来自特定的其他集合。

如果依赖关系形成有向无环图（DAG），则没有问题；可以通过对依赖关系的集合进行拓扑排序，然后按顺序计算集合来计算集合。 （由于拓扑排序，没有集合依赖于前一个集合，所以在需要计算该集合时，它的所有依赖关系都已经计算完毕。）

但是如果依赖图有环，拓扑排序是不可能的，所以我们用最小不动点算法代替。我们首先将所有集合设置为空，然后按某种顺序处理所有集合。当我们遇到依赖时，我们只需添加当时恰好在依赖中的元素。如果在此循环期间修改了任何集合，我们将再次处理所有集合。 （没有必要以相同的顺序处理它们，但这通常是最简单的方法。）我们会一遍又一遍地这样做，直到我们完成一个完整的循环而不向任何集合添加任何新元素。至此，我们已经实现了一组一致的成员依赖关系（“固定点”），其中没有无关的成员（因此它是“最小固定点”）。

理论上，这个算法可能需要很长时间，但它必须终止，因为每个循环都涉及固定数量的集合计算，并且（最后一个循环除外）向某个集合添加至少一个元素。在最坏的情况下，每个集合都包含每个元素，因此可能的循环次数是有限的（最多是集合的数量乘以元素的数量）。在实践中，对于许多问题域，算法运行得比这快得多，或者集合和元素的乘积不是太大（或两者兼而有之）。

这些问题通常可以通过计算关系方程的传递闭包来解决。由于传递闭包算法通常更快（在理论上的复杂性和内部循环的实际执行时间方面），如果速度很重要，它们将是首选的解决方案。但是，最小定点算法更容易理解，代码也没有那么神秘。

在特定的活度判定算法中，集合依赖关系在上一张幻灯片中列出；您可以看到每个in 和out 集合由一些固定元素和一个或多个其他集合的并集定义。如图所示，该算法在循环开始时保存所有集合的副本，并在循环结束时将每个副本与其对应的集合进行比较。如果在循环过程中有任何集合发生变化，则算法尚未完成。

在实践中，更常见的做法是在循环开始时将布尔标志设置为 false，如果联合操作导致将新元素添加到集合中（这很容易添加到联合中），则设置为 true操作，但在正式算法中描述混乱）。如果布尔值在循环结束时仍然为假，则算法终止。