找到点到复杂曲线的最小距离

Question

我有一条复杂的曲线，定义为表格中的一组点，如下所示（完整表格为here）：

#  x   y
1.0577  12.0914
1.0501  11.9946
1.0465  11.9338
...

如果我使用以下命令绘制此表：

plt.plot(x_data, y_data, c='b',lw=1.)
plt.scatter(x_data, y_data, marker='o', color='k', s=10, lw=0.2)

我得到以下信息：

我手动添加了红点和线段。我需要的是一种为每个点计算这些段的方法，即：找到从这个 2D 空间中的给定点到插值曲线的最小距离的方法。

我不能使用到数据点本身的距离（生成蓝色曲线的黑点），因为它们的间隔不相等，有时它们很近，有时它们相距很远，这深深影响了我的结果更进一步。

由于这不是一条表现良好的曲线，我不太确定我能做什么。我尝试用UnivariateSpline 对其进行插值，但它返回的拟合度很差：

# Sort data according to x.
temp_data = zip(x_data, y_data)
temp_data.sort()
# Unpack sorted data.
x_sorted, y_sorted = zip(*temp_data)

# Generate univariate spline.
s = UnivariateSpline(x_sorted, y_sorted, k=5)
xspl = np.linspace(0.8, 1.1, 100)
yspl = s(xspl)

# Plot.
plt.scatter(xspl, yspl, marker='o', color='r', s=10, lw=0.2)

我也尝试增加插值点的数量，但结果一团糟：

# Sort data according to x.
temp_data = zip(x_data, y_data)
temp_data.sort()
# Unpack sorted data.
x_sorted, y_sorted = zip(*temp_data)

t = np.linspace(0, 1, len(x_sorted))
t2 = np.linspace(0, 1, 100)    
# One-dimensional linear interpolation.
x2 = np.interp(t2, t, x_sorted)
y2 = np.interp(t2, t, y_sorted)
plt.scatter(x2, y2, marker='o', color='r', s=10, lw=0.2)

任何想法/指针将不胜感激。

Answer 1

如果您愿意为此使用库，请查看shapely：https://github.com/Toblerity/Shapely

举个简单的例子（points.txt 包含您在问题中链接到的数据）：

import shapely.geometry as geom
import numpy as np

coords = np.loadtxt('points.txt')

line = geom.LineString(coords)
point = geom.Point(0.8, 10.5)

# Note that "line.distance(point)" would be identical
print(point.distance(line))

作为一个交互式示例（这也绘制了您想要的线段）：

import numpy as np
import shapely.geometry as geom
import matplotlib.pyplot as plt

class NearestPoint(object):
    def __init__(self, line, ax):
        self.line = line
        self.ax = ax
        ax.figure.canvas.mpl_connect('button_press_event', self)

    def __call__(self, event):
        x, y = event.xdata, event.ydata
        point = geom.Point(x, y)
        distance = self.line.distance(point)
        self.draw_segment(point)
        print 'Distance to line:', distance

    def draw_segment(self, point):
        point_on_line = line.interpolate(line.project(point))
        self.ax.plot([point.x, point_on_line.x], [point.y, point_on_line.y], 
                     color='red', marker='o', scalex=False, scaley=False)
        fig.canvas.draw()

if __name__ == '__main__':
    coords = np.loadtxt('points.txt')

    line = geom.LineString(coords)

    fig, ax = plt.subplots()
    ax.plot(*coords.T)
    ax.axis('equal')
    NearestPoint(line, ax)
    plt.show()

请注意，我添加了ax.axis('equal')。 shapely 在数据所在的坐标系中运行。如果没有等轴图，视图将被扭曲，虽然 shapely 仍会找到最近的点，但它在显示中看起来不太正确：

Answer 2

您可以在 PyPI 中轻松使用包 trjtrypy：https://pypi.org/project/trjtrypy/

此软件包中提供了所有需要的计算和可视化。您可以在如下代码行中得到答案：

获取最小距离使用：trjtrypy.basedists.distance(points, curve)

可视化曲线和点使用：trjtrypy.visualizations.draw_landmarks_trajectory(points, curve)

Answer 3

曲线本质上是参数化的，即对于每个 x，都不需要唯一的 y，反之亦然。所以你不应该插入一个 y(x) 或 x(y) 形式的函数。相反，您应该进行两次插值，x(t) 和 y(t)，其中 t 是对应点的索引。

然后你使用scipy.optimize.fminbound 找到最优的 t 使得 (x(t) - x0)^2 + (y(t) - y0)^2 是最小的，其中 (x0, y0) 是红色的第一个图中的点。对于 fminsearch，您可以将 t 的最小/最大界限指定为 1 和 len(x_data)

Answer 4

您可以尝试在曲线上的增量点对上计算点到线的距离并找到最小值。这会从绘制的曲线中引入一点点误差，但应该非常小，因为点相对靠近。

http://en.wikipedia.org/wiki/Distance_from_a_point_to_a_line