在 R/Python 中以相似的计算速度获得正交的左右特征向量？

Question

我的目标是找到可对角化的非对称矩阵m 的左右特征向量，无需求逆，但它们仍然相互正交/来自?eigen 我想找到 V^(- 1) 在 V Lmbd V^(-1) 中不必使用solve，但他们仍然拥有V^(-1) V = Identity 的属性。

在 R 中，eigen(m)$vectors 默认提供右特征向量。一个经常提出的解决方案是通过运行eigen(t(m))$vectors 来查找剩余的。但是，默认情况下，t(eigen(t(m))$vectors) %*% eigen(m)$vectors 不会评估为身份。

如何在 R（或 Python）中实现这一点？我看过这个例子here，它强调以相同的效率计算左右特征向量，但它是用 Mathematica 编写的。我该如何翻译这个例子？

总体目标是找到由左右特征向量的外积组成的特征投影。

Answer 1

对于右特征向量 $R$ 和左特征向量 $L$ 的矩阵，可以使用以下关系：

$ R R^{\prime}L = R$ 可以使用qr.solve(e$vectors%*%t(e$vectors),e$vectors) for e <- eigen(m) for some matrix m 有效地求解。