如何在R中获得矩阵的右特征向量？答案

【问题标题】：How to obtain right eigenvectors of matrix in R?如何在R中获得矩阵的右特征向量？
【发布时间】：2013-02-16 16:07:37
【问题描述】：

版本：我的问题是我试图从equation 8 中找到矩阵S，但这个方程有错误。

如何直接获得R中矩阵的右特征向量？ 'eigen()' 只给出左特征向量

真的是上一版，我把这里弄得一团糟，但这个问题对我来说真的很重要：

eigen() 提供了一些特征向量的矩阵，来自函数帮助：

" 如果'r

                      A = V Lmbd V^(-1)

（直到数字模糊），其中Lmbd =diag(lam)"

那是A V = V Lmbd，其中 V 是矩阵现在我们检查一下：

set.seed(1)
A<-matrix(rnorm(16),4,4)
Lmbd=diag(eigen(A)$values)
V=eigen(A)$vectors
A%*%V

> A%*%V
                      [,1]                  [,2]          [,3]           [,4]
[1,]  0.0479968+0.5065111i  0.0479968-0.5065111i  0.2000725+0i  0.30290103+0i
[2,] -0.2150354+1.1746298i -0.2150354-1.1746298i -0.4751152+0i -0.76691563+0i
[3,] -0.2536875-0.2877404i -0.2536875+0.2877404i  1.3564475+0i  0.27756026+0i
[4,]  0.9537141-0.0371259i  0.9537141+0.0371259i  0.3245555+0i -0.03050335+0i
> V%*%Lmbd
                      [,1]                  [,2]          [,3]           [,4]
[1,]  0.0479968+0.5065111i  0.0479968-0.5065111i  0.2000725+0i  0.30290103+0i
[2,] -0.2150354+1.1746298i -0.2150354-1.1746298i -0.4751152+0i -0.76691563+0i
[3,] -0.2536875-0.2877404i -0.2536875+0.2877404i  1.3564475+0i  0.27756026+0i
[4,]  0.9537141-0.0371259i  0.9537141+0.0371259i  0.3245555+0i -0.03050335+0i

我想找到右特征向量矩阵R，
定义左特征向量矩阵L的方程是：

L A  = LambdaM L

定义右特征向量矩阵R的方程是：

A R = LambdaM R

而 eigen() 只提供矩阵V:

A V = V Lmbd

我想获得矩阵R 和LambdaM 的实矩阵A，这可能是负定的。

【问题讨论】：

但是 transpose 给出了转置矩阵的右特征向量，不是吗？
eigen() 在我看来，正如我所料，正在返回正确的特征向量。试试这个看看它确实有效：m <- matrix(1:4, ncol=2); e <- eigen(m); e$values[1]; (m %*% e$vectors[,1])/e$vectors[,1].
@BenBolker -- 比较这两者，看看你的粗体陈述是不是真的：W <- matrix(1:4, ncol=2); lambda <- diag(1:2); W %*% lambda; lambda %*% W。我认为 OP 的困惑是一个（很容易理解的）符号。当 W 是 vector 时，标量 lambda 的左右乘法是等价的，但乘积通常是这样写的：拉姆达W。当W是一个矩阵时，它必须是右-乘以矩阵Lambda，像这样：W 拉姆达。（比较等式 (1) 和 (14) here, for example）。
还是不太对！请参阅上面引用的 Mathworld 站点。当用单个特征向量/特征值对表示时，A r == lambda r 为真（等式 1）。当用特征值矩阵表示时，正确的表达式是A R == R Lambda（等式14：在Mathworld的符号中，A X_R == X_R D）。所以事实上eigen 给你的是正确的特征向量矩阵，正如传统定义的那样。我认为您想要一些不同的东西，这很好，但请准确（并仔细检查我的说法，因为我至少已经错了一次）。
@Josh O'Brien 感谢您的帮助！我已经实现了整个第 3 节，它的工作原理如第 4 节所示，定义（8）确实有一个错误。

标签： r function eigenvector eigenvalue

【解决方案1】：

一个有效的例子。

默认（= 正确个特征向量）：

m <- matrix(1:9,nrow=3)
e <- eigen(m)
e1 <- e$vectors
zapsmall((m %*% e1)/e1) ## right e'vec
##          [,1]      [,2] [,3]
## [1,] 16.11684 -1.116844    0
## [2,] 16.11684 -1.116844    0
## [3,] 16.11684 -1.116844    0

左特征向量：

eL <- eigen(t(m))    
eL1 <- eL$vectors

（我们需要付出更多的努力，因为我们需要乘以左边的行向量；如果我们只提取了一个特征向量，R 的无知行/列向量的区别将使它 “做正确的事”（即(eL1[,1] %*% m)/eL1[,1] 只是工作）。）

zapsmall(t(eL1) %*% m/(t(eL1)))
##          [,1]      [,2]      [,3]
## [1,] 16.116844 16.116844 16.116844
## [2,] -1.116844 -1.116844 -1.116844
## [3,]  0.000000  0.000000  0.000000

【讨论】：

我现在没时间回答您编辑的问题。您可以尝试根据迄今为止在此处发布的内容来回答您自己的问题，或者等待其他人来解答...

【解决方案2】：

这应该可以工作

给定一个矩阵 A。

lefteigen  <-  function(A){
  return(t(eigen(t(A))$vectors))
}

每个左特征向量都是矩阵转置的右特征向量的转置

【讨论】：

但它们通常不会是正交的。