如何生成具有特征值呈指数分布的相关矩阵的零均值高斯随机向量答案

【问题标题】：how to generate a zero-mean Gaussian random vector ,which have correlation matrices whose eigenvalues are exponentially distributed如何生成具有特征值呈指数分布的相关矩阵的零均值高斯随机向量
【发布时间】：2019-06-10 19:38:11
【问题描述】：

1.这是论文“Fast Generalized Eigenvector Tracking Based on the Power Method”中的一个问题。

2.作者写道“我们生成两个零均值高斯随机向量，它们具有相关矩阵 A 和 B，其特征值是指数分布”。

3.但是如何生成一个具有特征值呈指数分布的相关矩阵的零均值高斯随机向量，这让我困惑了将近一周。

4.似乎只能在MATLAB中使用randn来生成随机向量，所以问题是如何确定特征值呈指数分布的相关矩阵同时？

【问题讨论】：

@JackMoody 嗯，链接到的问题似乎不相关，因为 OP 不是从离散分布中抽样的。
@RobertDodier 你是对的。如果他真的需要它/已经在使用 Numpy，可以使用numpy.random.poisson。
如果您使用的是 c++，那么有一个名为 boost 的库家族，它提供 api 调用来为您提供类似的功能……值得研究 boost 以了解如此强大的集合所要求和提供的内容api 的 - 它是 c++ 的主力

标签： math signal-processing computer-science eigenvector

【解决方案1】：

令 S 为正定矩阵。因此，S 具有 Cholesky 分解 L.L' = S，其中 L 是下三角矩阵，' 表示矩阵转置，. 表示矩阵乘法。让 x 从均值为零且协方差等于单位矩阵的高斯分布中得出。则 y = L.x 具有均值为零且协方差为 S 的高斯分布。

因此，如果您能找到合适的协方差矩阵 A 和 B，则可以使用它们的 Cholesky 分解来生成样本。现在关于构造一个具有遵循给定分布的特征值的矩阵。我的建议是从指数分布的样本列表开始；这些将是您的特征值。令 E = 一个矩阵，指数样本在对角线上，否则为零。令 U 为任何酉矩阵（即列是正交的，每列的范数为 1）。则 U.E.U' 是具有指定特征值的正定矩阵。

U 可以是任何酉矩阵。特别是 U 可以是单位矩阵。这可能会使其他一切变得更简单；您必须验证 U = identity 是否适用于您正在处理的问题。

【讨论】：

“让 x 从均值为零且协方差等于单位矩阵的高斯分布中绘制”。我只是想知道如何确保协方差是恒等式，即 x.x'= I ，我想我只有最后一个细节才明白你的想法，如果在 MATLAB 中我不清楚。
您描述了如何使用具有所需特征值分布的协方差矩阵生成样本。但是OP询问了相关矩阵。它会有所需的特征值分布吗？
好吧，在论文中，它假设特征对 A 和 B 是未知的，所以我们更新 A ,B 就像 A(k) = A(k-1) + x(k).x( k)' 和 B(k) =B(k-1) +n(k).n(k)'。我的问题是如何生成向量，正如论文所说“我们生成两个零均值高斯随机向量，它们具有相关矩阵 A 和 B，其特征值呈指数分布”。
我的目标是生成满足论文条件的向量
因为这篇论文专注于跟踪算法，首先我们有 A 和 B 来表示ground truth。但实际上它们是未知的，所以我们通过观察对其进行更新，（A 和 B 的初始化是同一性的）并通过观察到的高斯随机向量进行更新。高斯随机向量包含信息“向量具有相关矩阵 A 和 B，其特征值呈指数分布”。在每次迭代中，我们面临的是如何生成高斯随机向量以便更新我们的矩阵。