生成 50 个具有正特征值/正定矩阵的随机 2x2 矩阵答案

【问题标题】：Generating 50 random 2x2 matrices with positive eigenvalues/positive definite matrices生成 50 个具有正特征值/正定矩阵的随机 2x2 矩阵
【发布时间】：2020-11-17 23:45:33
【问题描述】：

我想知道如何在 PYTHON 中生成大约 50 个随机 2x2 对称正定矩阵。有没有人可以指导我使用 scikit 或 numpy 的代码块？

【问题讨论】：

对于任意矩阵A，矩阵A*A是半正定的，stackoverflow.com/questions/619335/…..
问题是关于正定矩阵。
一个对称矩阵是正定的，当且仅当它的所有特征值都是正的。为什么不做一个正对角线的随机对角矩阵呢？

标签： python numpy

【解决方案1】：

严格对角占优矩阵是正定矩阵。所以你可以生成一个随机A，计算AA= A'A，然后增加对角线上的元素以确保

AA[i,i] > sum( abs(AA[i,j]), j != i ),

例如，计算右侧的和，然后将其加 1 并将结果分配给 AA[i,i]。

更简单地说，您可以计算 A'A + alpha*I 以获取您选择的一些 alpha > 0 以及我在哪里单位矩阵。这个矩阵的所有特征值都是>= alpha，这使它“安全”正定。

您也可以使用 sklearn 更轻松地完成此操作，然后使矩阵值随机化。见：https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.datasets.make_spd_matrix.html

【讨论】：

【解决方案2】：

一个真正的对称 2×2 矩阵

/ a b \
\ b c /

是正定的，如果它的迹和行列式是正的。因为行列式是ac-b^2，所以如果a 和c 是正数并且-m < b < m 其中m 是几何平均值\sqrt ac，就会发生这种情况。

因此，您可以用-1<f<1 绘制正数a 和c 和因子f，然后使用

/     a         f * sqrt(ac) \
\ f * sqrt(ac)      c        /

请注意，这种方法很容易被矢量化。

【讨论】：

【解决方案3】：

“随机”对不同的人意味着不同的东西，但我会尝试一下。

正如前面的回答所指出的，实矩阵 X 是半正定的，当（且仅当）它可以被分解为 X=M'M，即它是一个 Gram 矩阵。

使X 随机化的一种简单方法，同时也保证正定性，是对M 使用随机正常条目。另请参阅Wishart distribution。

【讨论】：