Ed Kmett的递归方案包中的Fix、Mu和Nu有什么区别

Question

在 Ed Kmett 的 recursion-scheme 包中，有三个声明：

newtype Fix f = Fix (f (Fix f))

newtype Mu f = Mu (forall a. (f a -> a) -> a)

data Nu f where 
  Nu :: (a -> f a) -> a -> Nu f

这三种数据类型有什么区别？

Answer 1

Mu 将递归类型表示为其折叠，Nu 将其表示为展开。在 Haskell 中，这些是同构的，并且是表示同一类型的不同方式。如果你假设 Haskell 没有任意递归，那么这些类型之间的区别会变得更有趣：Mu f 是 f 的最小（初始）不动点，Nu f 是其最大（终端）不动点。

f 的不动点是T 类型，是T 和f T 之间的同构，即一对反函数in :: f T -> T、out :: T -> f T。 Fix 类型只是使用 Haskell 内置的类型递归来直接声明同构。但是您可以同时为Mu 和Nu 实现输入/输出。

举个具体的例子，假装你不能写递归值。 Mu Maybe 的居民，即值 :: forall r. (Maybe r -> r) -> r，是自然人，{0, 1, 2, ...}； Nu Maybe 的居民，即 :: exists x. (x, x -> Maybe x) 的值，是 conaturals {0, 1, 2, ..., ∞}。想想这些类型的可能值，看看为什么Nu Maybe 有一个额外的居民。

如果您想对这些类型有一些直觉，那么在不递归的情况下实现以下内容可能是一个有趣的练习（大致按难度递增的顺序）：

• zeroMu :: Mu Maybe, succMu :: Mu Maybe -> Mu Maybe
• zeroNu :: Nu Maybe, succNu :: Nu Maybe -> Nu Maybe, inftyNu :: Nu Maybe
• muTofix :: Mu f -> Fix f, fixToNu :: Fix f -> Nu f
• inMu :: f (Mu f) -> Mu f, outMu :: Mu f -> f (Mu f)
• inNu :: f (Nu f) -> Nu f, outNu :: Nu f -> f (Nu f)

您也可以尝试实现这些，但它们需要递归：

• nuToFix :: Nu f -> Fix f, fixToMu :: Fix f -> Mu f

Mu f是最小不动点，Nu f是最大不动点，所以写函数:: Mu f -> Nu f很容易，写函数:: Nu f -> Mu f很难；就像逆流而上。

（有一次我打算对这些类型写一个更详细的解释，但对于这种格式来说可能有点太长了。）