（非方形）任意比例的希尔伯特空间填充曲线

Question

Hilbert 空间/平面填充曲线是否有任何扩展，可将 非正方形 表面映射到矢量/线 [用于将图像映射到矢量]？

Answer 1

我今天自己找了这个。我找到了 Lutz Tautenhahn 的这个页面：

"Draw A Space-Filling Curve of Arbitrary Size"

该算法没有名称，他没有引用任何其他人，并且草图表明他自己想出了它。因此，直到出现对该主题有更多了解的人之前，我们将其称为 Tautenhahn 曲线？但是，对于 2 的幂，它又会变成希尔伯特曲线！

仍在挖掘凌乱的源代码，不知道 Big-O 开销等最终会是什么。

看起来他从上到下尽可能“均匀”地划分空间，所以假设开销不是太大，它可能是你想做的一个很好的候选。

编辑：虽然我怀疑这么多年后你会看到这一点，但我最近发现了一篇 2000 年的论文，其中的另一种方法可能实际上对你的具体情况有用：

"Context-based Space Filling Curves" 由 Revital Dafner、Daniel Cohen-Or 和 Yossi Matias 撰写

这是一种构建空间填充曲线的方法，该曲线在基础图像数据的变化方面是“最佳的”。

Answer 2

我编写了一个算法，可以为 2D 和 3D 中任意大小的矩形生成类似希尔伯特的曲线。 55x31 的示例：curve55x31

这个想法是递归地应用类似 Hilbert 的模板，但在将域维度减半时避免出现奇怪的大小。如果维度恰好是 2 的幂，则会生成经典的希尔伯特曲线。

def gilbert2d(x, y, ax, ay, bx, by):
    """
    Generalized Hilbert ('gilbert') space-filling curve for arbitrary-sized
    2D rectangular grids.
    """

    w = abs(ax + ay)
    h = abs(bx + by)

    (dax, day) = (sgn(ax), sgn(ay)) # unit major direction
    (dbx, dby) = (sgn(bx), sgn(by)) # unit orthogonal direction

    if h == 1:
        # trivial row fill
        for i in range(0, w):
            print x, y
            (x, y) = (x + dax, y + day)
        return

    if w == 1:
        # trivial column fill
        for i in range(0, h):
            print x, y
            (x, y) = (x + dbx, y + dby)
        return

    (ax2, ay2) = (ax/2, ay/2)
    (bx2, by2) = (bx/2, by/2)

    w2 = abs(ax2 + ay2)
    h2 = abs(bx2 + by2)

    if 2*w > 3*h:
        if (w2 % 2) and (w > 2):
            # prefer even steps
            (ax2, ay2) = (ax2 + dax, ay2 + day)

        # long case: split in two parts only
        gilbert2d(x, y, ax2, ay2, bx, by)
        gilbert2d(x+ax2, y+ay2, ax-ax2, ay-ay2, bx, by)

    else:
        if (h2 % 2) and (h > 2):
            # prefer even steps
            (bx2, by2) = (bx2 + dbx, by2 + dby)

        # standard case: one step up, one long horizontal, one step down
        gilbert2d(x, y, bx2, by2, ax2, ay2)
        gilbert2d(x+bx2, y+by2, ax, ay, bx-bx2, by-by2)
        gilbert2d(x+(ax-dax)+(bx2-dbx), y+(ay-day)+(by2-dby),
                 -bx2, -by2, -(ax-ax2), -(ay-ay2))

def main():
    width = int(sys.argv[1])
    height = int(sys.argv[2])

    if width >= height:
        gilbert2d(0, 0, width, 0, 0, height)
    else:
        gilbert2d(0, 0, 0, height, width, 0)

https://github.com/jakubcerveny/gilbert 提供 3D 版本和更多文档

Answer 3

有自适应希尔伯特曲线，但在 imo 中，它非常困难并且可用于其他用途，但您也可以将“正常”希尔伯特曲线映射到任何矩形。