创建复杂度更高的二叉搜索树

Question

给你一个数字，它是二叉搜索树的根。然后你会得到一个包含 N 个元素的数组，你必须将其插入到二叉搜索树中。如果数组按排序顺序，时间复杂度为 N^2。我需要以更好的复杂性（比如 NlogN）获得相同的树结构。我尝试了很多但无法解决它。有人可以帮忙吗？

Answer 1

我假设所有数字都是不同的（如果不是这种情况，您可以使用一对 (number, index) 代替）。

假设我们要插入我们要插入一个元素X。如果它是迄今为止最小/最大的元素，那么它的去向很清楚。

让我们a = max y: y in tree and y < X 和b = min y: y in tree and y > X。我声称：

1. 其中一个是另一个的祖先。

2. a 没有右孩子或b 没有左孩子。

证明：

1. 不要这样。让l = lca(a, b)。因为a 在它的左子树中，b 在它的右子树a < l < b 中。矛盾。

2. 让a 成为b 的祖先。如果b 有一个左孩子c。比a < c < b。矛盾（其他情况类似处理）。

所以解决方案是这样的：

1. 让我们保留一组已经在树中的元素（我的意思是具有下界操作的有效集合，例如 C++ 中的 std::set 或 Java 中的 TreeSet）。

2. 让我们在每次插入时按照上述方法找到a 和b（在O(log N) 时间使用集合的lower_bound 操作）。恰好其中一个没有合适的孩子。这就是新元素的所在。

总时间复杂度显然是O(N log N)。

Answer 2

如果您在字典中查找一个单词，您将字典打开大约一半并查看页面。然后，它会告诉您搜索词是在字典的前半部分还是后半部分。重复一遍，每次通过消除一半剩余的单词，你很快就会把它缩小到一个单词。 40 亿个单词的词典大约需要 32 遍。

二叉搜索树使用相同的原理。除了查找之外，您还可以插入。插入是 O(log N)，除非树变得退化。 为了防止树退化，您使用“红色”和“黑色”节点的系统（颜色只是常规的），并且不允许长时间运行 任何一种颜色。完整的解释在我的书《基本算法》中

http://www.lulu.com/spotlight/bgy1mm

这里有一个实现

https://github.com/MalcolmMcLean/babyxrc/blob/master/src/rbtree.c https://github.com/MalcolmMcLean/babyxrc/blob/master/src/rbtree.h

但如果你想了解红黑，你需要一些解释 树。