假设我们只有整数，其值在1 到N 的范围内。接下来我们将它们分成K-element 多组。你如何找到这样的集合，它包含尽可能少的多集合，而这个多集合的总和包含从1 到N 的所有数字？如果有歧义，答案将是任何符合条件的集合（首先找到）。
例如，我们有N = 9、K = 3
(1,2,3)(4,5,6)(7,8,8)(8,7,6)(1,9,2)(4,4,3)
包含从1 到9 的所有数字的最小多集数等于4，可以是(1,2,3)(4,5,6)(7,8,8)(1,9,2) 或(1,2,3)(4,5,6)(8,7,6)(1,9,2)。
有什么有效的算法可以找到这样的集合吗？
PS
写完答案后，我发现了另一个 4 元素集：(4,5,6)(1,9,2)(4,4,3)(7,8,8) 或 (4,5,6)(1,9,2)(4,4,3)(8,7,6) 但正如我所说的算法找到任何最小集都可以。
【问题讨论】：
标签： algorithm
您的问题是经典的Set Covering problem 的限制版本，但仍然很容易证明它是NP-Hard。
这个问题的任何近似技术在这里都是合理的。特别是，选择覆盖最多未发现项目的下一个子集的greedy solution 是 esp。易于实施。
【讨论】：
正如@Ami Tavroy 所说，这个问题通过简化为3-dimensional matching (here) 是NP-hard。
要进行归约，请注意 3 维匹配的受限决策变体，当它归约到精确覆盖时 (here)：
...给定一个集合 T 和一个整数 k，判断是否存在一个 3 维匹配 M ⊆ T 与 |M| ≥k。 ... 问题是 即使在 k = |X| 的特殊情况下也是 NP 完全的= |Y| = |Z|.1[4][5] 在这种情况下，3 维（主导）匹配是 不仅是一套包装，而且是一个精确的封面：一套 M 涵盖了每个 X、Y 和 Z 的元素恰好一次。[6]
如果你能解决 P 中的另一个问题，这个变体可以在 P 中解决 - 你可以在 O(N ^ 3) 时间内产生所有三元组，然后设置覆盖，并检查 K = N / 3 是否。因此，通过归约，原始问题也是 NP 难的。
【讨论】：