循环的顺序和增长函数

Question

我试图在一个函数中找到这个 for 循环的顺序和增长函数，该函数接受一个长度为 n > 2 的数组。

此函数按升序排列数组。我试图找到最坏情况的顺序：当数组最初按降序排序时，函数因此必须多次遍历数组才能对其进行排序。

这是循环：

        for (int next = 1; next < array.length; next++) {
            int value = array[next];
            int index = next;
            while (index > 0 && value < array[index - 1]) {
                array[index] = array[index - 1];
                index--;
            }
            array[index] = value;
        }

我一直在绞尽脑汁想弄清楚。编写测试，写下大量函数，我接近了，但永远不会正确。你将如何通过这样的循环来找到它的顺序和增长函数？

任何方向都将不胜感激。非常感谢。

Answer 1

设 n 为数组长度。该循环的最坏情况运行时间为 O(n^2)。看这个的简单方法如下：

next = 1 时，while 循环执行的操作数最多为 1。next = 2 时，操作数最多为 2，以此类推，直到 next = (n - 1)。我们可以忽略 for 循环完成的其他操作，因为它们构成与增长无关的低阶项。

所以现在，操作数是 k * (1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n - 1)) = k*(n*(n - 1)/2) = kn^2 - kn/2 其中 k 是一个常数因子。

因此，函数的增长是 n^2 阶的。

编辑：

为了解决评论，我们通常不计算 total 语句的数量，因为没有这样做的标准。

例如，您会将后续循环的一次迭代计为一个语句（单个打印语句）还是两个语句（打印语句和递增 i）？

for (int i = 0; i < n; i++)
{
    print(i);
}

此外，坦率地说，它并不是一个非常有用的指标。在大多数情况下，我们只关心算法的最高阶项。

但是，为了回答您的问题，我会将循环视为执行以下许多语句： 2n^2 + 2n - 3.