增长顺序复杂的 for 循环答案

【问题标题】：Order Of Growth complicated for loops增长顺序复杂的 for 循环
【发布时间】：2015-07-13 14:49:21
【问题描述】：

对于下面的代码片段，N的增长顺序是什么？

int sum = 0;
for (int i = 1; i <= N; i = i*2)
  for (int j = 1; j <= N; j = j*2)
    for (int k = 1; k <= i; k++)
        sum++;

我认为有 lgN 术语，但我坚持评估这部分：lgN(1 + 4 + 8 + 16 + ....)。序列的最后一项是什么？我需要最后一项来计算总和。

【问题讨论】：

标签： algorithm for-loop big-o time-complexity big-theta

【解决方案1】：

你的外部循环有一个几何级数，所以你想要取对数的总和有一个封闭的形式：

1 + 2 + 4 + ... + 2^N = 2^(N+1) - 1

准确地说，你的总和是

1 + ... + 2^(floor(ld(N))

ld 表示以 2 为底的对数。

外面的两个循环是相互独立的，而最里面的循环只依赖于i。最内层循环有单次操作（增量），表示最内层循环的访问次数等于求和结果。

  \sum_i=1..( floor(ld(N)) ) {
      \sum_j=1..( floor(ld(N)) ) {
          \sum_k=1..2^i { 1 }
      }
  }

    // adjust innermost summation bounds   
= \sum_i=1..( floor(ld(N)) ) {
      \sum_j=1..( floor(ld(N)) ) {
          -1 + \sum_k=0..2^i { 1 }
      }
  }

    // swap outer summations and resolve innermost summation
= \sum_j=1..( floor(ld(N)) ) {
      \sum_i=1..( floor(ld(N)) ) {
          2^i
      }
  }

   // resolve inner summation
= \sum_j=1..( floor(ld(N)) ) {
      2^(floor(ld(N)) + 1) - 2
  }

   // resolve outer summation
= ld(N) * N - 2 * floor(ld(N))

在 Big-Oh 表示法中，这等于 O(N log N)（表达式中的第二项相对于第一项渐近消失）。

【讨论】：

我对未定义O(.)-O(.) 的答案有疑问。它是什么？一组减法？（显然不是......）请解决这个问题，我很乐意投票。
@amit。你完全正确。象征意义是为了表达一个时间复杂度支配另一个时间复杂度，但实际上它滥用了符号。更正答案。

【解决方案2】：

据我了解，外层循环将采用log N 步骤，下一个循环也将采用log N 步骤，而最内层循环将最多采用N 步骤（尽管这是一个非常粗略的界限）。总的来说，循环的运行时复杂度最多为((log N)^2)*N，这可能还可以改进。

【讨论】：

它也是O(n!)，但信息量不是很大...正如您所说，界限并不紧密，请参阅@collapsar 答案以了解应该如何计算它。