我正在阅读有关平衡二叉搜索树的信息。我发现了关于在这样的树中搜索的声明：
当您在具有 n 个元素的平衡二叉搜索树中查找某些内容时，在最坏的情况下可能需要 n/2 次比较，这是不正确的。
为什么不是真的？
我们不是看树的右侧还是左侧，所以比较应该是 n/2？
【问题讨论】：
标签： data-structures binary-tree
Balanced Binary Search tree 的搜索最坏情况由其高度决定。 O(height)，高度为log2(n)，因为它是平衡的。
在最坏的情况下，我们要查找的节点位于叶子中或根本不存在，因此我们需要从根到叶子遍历树，即 O(lgn) 而不是 O(n/2)
【讨论】：
考虑以下n=7 的平衡二叉树（这实际上是一棵完全二叉搜索树，但我们暂且不讨论，因为一棵完全二叉搜索树也是一棵平衡二叉搜索树）。
5 depth 1 (root)
/----+----\
2 6 depth 2
/--+--\ /--+--\
1 3 4 7 depth 3
对于在这棵树中搜索任何数字，最坏的情况是我们达到树的最大深度（例如，在这种情况下为 3），直到我们终止搜索。在深度 3，我们执行了 3 次比较，因此，在任意深度 l，我们将执行 l 比较。
现在，对于上述任意大小的完整二叉搜索树，我们可以保存1 + 2^(maxDepth-1) 不同的数字。现在，假设我们有一个完整的二叉搜索树，其中正好有n（不同的）数字。那么以下成立
n = 1 + 2^(maxDepth-1) (+)
因此
(+) <=> 2^(maxDepth-1) = n - 1
<=> log2(2^(maxDepth - 1)) = log2(n - 1)
<=> maxDepth - 1 = log2(n - 1)
=> maxDepth = log2(n - 1) + 1
回想一下，maxDepth 告诉我们最坏情况的比较次数，以便我们在完整的二叉树中找到一个数字（或者它不存在）。因此
worst case scenario, n nodes : log2(n-1) + 1
为了研究这种搜索的渐近或限制行为，n 可以被认为是足够大，因此log2(n) ~= log2(n-1) 成立，随后，我们可以说该算法的一个相当好的（严格）上限是O(log2(n))。因此
在完全二叉树中搜索的时间复杂度， 对于
n节点，是O(log2(n))
对于不完全二叉搜索树，与上述类似的推理导致相同的时间复杂度。请注意，对于非平衡搜索树，n 节点的最坏情况是 n 比较。
答案： 从上面可以看出，O(n/2) 不是大小为n 的二叉搜索树的时间复杂度的适当界限；然而O(log2(n)) 是。 （请注意，对于足够大的n，先验可能是正确，但不是很好/严格的！）
【讨论】：
2 通常被省略（但可以推断）。因此，在您的备忘单中，O(log(n)) 与 O(log2(n)) 相同。
想象一下有 10 个节点的树：1,2,3,4,5..10。 如果您要寻找 5，需要进行多少次比较？如果你找10个怎么样？ 实际上从来不是 N/2。
【讨论】：
最坏的情况是您要搜索的元素是叶子（或不包含在树中），然后比较的次数等于树的高度，即 log2(n)。
【讨论】：
最佳平衡二叉树是 AVL 树。我说“最好”的条件是它们的修改操作是 O(log(n))。如果树是完全平衡的，那么它的高度仍然更小（但在 O(log(n)) 中不知道修改它的方法。
可以证明一棵AVL树的最大高度小于
1.4404 log(n+2) - 0.3277
因此，在 AVL 树中搜索的最坏情况是不成功的搜索，其从根开始的路径以最深节点结束。但是根据前面的结果，这条路径不能长于 1.4404 log(n+2) - 0.3277。
并且由于 1.4404 log(n+2) - 0.3277
【讨论】：
让我们先看看 BST（二叉搜索树）的属性。
-- root must be > then left_child
-- root must be < right child
10
/ \
8 12
/ \ / \
5 9 11 15
/ \ / \
1 7 14 25
给定树的高度为 3（最长路径中的边数为 10-14）。
假设您查询以在给定的平衡 BST 中搜索 14
node-- 10 14 > 10
/ \ go to right sub tree because all nodes
8 12 in right sub tree are > 10
/ \ / \
5 9 11 15 n = 11 total node
/ \ / \
1 7 14 25
node-- 12 14 > 12
/ \ again go to right sub tree..
11 15
/ \ n = 5
14 25
node-- 15 14 > 15
/ \ this time node value is > required value so
14 25 goto left sub tree
n = 3
'node -- 14 14 == 14 value find
n = 1'
从上面的例子我们可以看到，在每次比较问题的大小（节点数）减半时，我们也可以说在每次比较时我们切换到下一个级别，因此树的高度增加了 1。
由于平衡 BST 的最大高度是 log(N)，在最坏的情况下我们需要转到树的叶子，因此我们采取 log(N) 步骤来这样做..
因此 BST 搜索的 O 是 log(N)。
【讨论】：