如何分析递归的时间复杂度答案

【问题标题】：How to analyze time complextity for recursiion如何分析递归的时间复杂度
【发布时间】：2017-08-19 18:03:04
【问题描述】：

我使用递归完成了一个 leetcode 问题329:Given an integer matrix, find the length of the longest increasing path.，但我不确定它的时间复杂度。

为了时间复杂度，先在外面有for循环。因此，它是 T(m, n) = O(m*n) 对于两个循环。在循环内部，有一个递归调用findPath。就像

　　T(m,n) = T(m-1, n)+T(m+1, n)+T(m, n-1)+T(m, n+1)

我完全迷失了这个。谢谢你能帮我解释一下。

以下是我的代码：

int longestIncreasingPath(vector<vector<int>>& matrix) {
    if (matrix.size() == 0 || matrix[0].size() == 0) return 0;
    vector<vector<int>> cached(matrix.size(), vector<int>(matrix[0].size(), 0));
    int maxVal =0;
    for(int i=0; i<matrix.size(); i++){
        for(int j=0; j<matrix[0].size();j++){
            int length = findPath(matrix, i, j , cached, INT_MAX);
            maxVal=max(length, maxVal);
        }
    }
    return maxVal;
}

int findPath(vector<vector<int>>& matrix, int i, int j, 
             vector<vector<int>>& cached, int lastValue){
    if(i<0 || j<0 || i>=matrix.size() || j>=matrix[0].size() || matrix[i][j]>=lastValue){
        return 0;
    }
    if(cached[i][j]==0) {
       int current = matrix[i][j];
       int temp = 0;
       temp= max(temp, findPath(matrix, i-1, j, cached, current));
       temp= max(temp, findPath(matrix, i+1, j, cached, current));
       temp= max(temp, findPath(matrix, i, j-1, cached, current));
       temp= max(temp, findPath(matrix, i, j+1, cached, current));
       cached[i][j] = temp+1;
   }
   return cached[i][j];
}

【问题讨论】：

标签： recursion time-complexity big-o

【解决方案1】：

在每次调用findPath 之后，cached[i][j] 的内容将始终大于 1。因此对位置 (i, j) 的后续调用将不会导致对其周围位置的递归调用.然后我们可以推断出每个位置(i, j) 被称为最多 4 次，因为它只能通过调用水平或垂直相邻的位置来访问，只有第一个位置会导致进一步递归调用。我们还假设matrix[i][j] >= lastValue从不满足的最坏情况。因此上限为O(mn)，其中m, n 是matrix 的维度。

【讨论】：