循环内递归函数的时间复杂度分析

Question

我正在尝试分析以下函数的时间复杂度。该函数用于检查一个字符串是否由其他字符串组成。

set<string> s; // s has been initialized and stores all the strings
bool fun(string word) {
    int len = word.size();

    // something else that can also return true or false with O(1) complexity

    for (int i=1; i<=len; ++i) {
       string prefix = word.substr(0,i);
       string suffix = word.substr(i);
       if (prefix in s && fun(suffix))
           return true;
       else
           return false;
    }
}

我认为时间复杂度是O(n)，其中 n 是单词的长度（对吗？）。但是由于递归在循环内，我不知道如何证明它。

编辑：

此代码不是正确的 C++ 代码（例如，prefix in s）。我只是展示这个函数的思想，想知道如何分析它的时间复杂度

Answer 1

对此进行分析的方法是根据输入的长度和前缀在s 中的（未知）概率来开发递归关系。假设前缀出现在s 中的概率由前缀长度 L 的某个函数 pr(L) 给出。让复杂度（操作数）由 T(len) 给出。

如果 len == 0（word 是空字符串），则 T = 1。（该函数在循环后缺少最终的 return 语句，但我们假设实际代码只是一个想法的草图，而不是实际执行的内容）。

对于每个循环迭代，用 T(len; i) 表示循环体复杂度。如果前缀不在s 中，则主体具有恒定复杂度（T(len; i) = 1）。此事件的概率为 1 - pr(i)。

如果前缀在s中，则函数根据对fun(suffix)的递归调用返回true或false，其复杂度为T(len - i)。该事件的概率为 pr(i)。

所以对于i的每个值，循环体复杂度为：

T(len; i) = 1 * (1 - pr(i)) + T(len - i) * pr(i)

最后（这取决于预期的逻辑，而不是发布的代码），我们有

T(len) = sum _i=1...len(T(len; i))

为简单起见，让我们将 pr(i) 视为值为 0.5 的常数函数。那么 T(len) 的递归关系是（直到一个常数因子，这对于 O() 计算并不重要）：

T(len) = sum _i=1...len(1 + T(len - i)) = len + sum _{i=0...len-1(T(i))}

如上所述，边界条件是 T(0) = 1。这可以通过标准递归函数方法解决。让我们看一下前几个术语：

len   T(len)
0     1
1     1 + 1 = 2
2     2 + 2 + 1 = 5
3     3 + (4 + 2 + 1) = 11
4     4 + (11 + 5 + 2 + 1) = 23
5     5 + (23 + 11 + 5 + 2 + 1) = 47

模式显然是 T(len) = 2 * T(len - 1) + 1。这对应于指数复杂度：

T(n) = O(2ⁿ)

当然，这个结果取决于我们对 pr(i) 所做的假设。 （例如，如果所有 i 的 pr(i) = 0，则 T(n) = O(1)。如果 pr(i) 具有最大前缀长度，那么也会出现非指数增长——pr(i) = 0 对于所有 i > M 对于某些 M。）pr(i) 独立于 i 的假设可能是不现实的，但这实际上取决于s 的填充方式。

Answer 2

假设您已经修复了其他人注意到的错误，那么 i 值是字符串被拆分的位置（每个 i 是最左边的拆分点，然后您递归到右边的所有内容i)。这意味着如果您要展开递归，您将查看最多 n-1 不同的分割点，并询问每个子字符串是否是有效单词。如果word 的开头没有您的集合中的很多元素，则一切正常，从那时起您可以跳过递归。但在最坏的情况下，prefix in s 始终为真，并且您尝试所有可能的n-1 分割点子集。这给出了2^{n-1} 不同的拆分集，乘以每个此类集的长度。