GCD - 欧几里得算法和分解算法分析答案

【问题标题】：GCD - Euclid's algorithm and Factorization Algorithm AnalysisGCD - 欧几里得算法和分解算法分析
【发布时间】：2014-03-02 04:35:03
【问题描述】：

当我准备介绍算法课的期中考试时，我正在检查教授之前发布的一些测试，我发现了这个问题：

计算 gcd(312,455) 有两种方法：求每个数的因式分解，以及使用欧几里得算法。每种方法的复杂性是多少？

他的回答是：

gcd(455,312) = gcd(312,143) = gcd(143,26) = gcd(26,13) = gcd(13,0) = 13

factors(312)= {2, 3, 13} factors(455)= {5, 7, 13}

复杂性：

他是如何解决复杂问题的？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

要分析欧几里得 GCD，您必须选择最坏情况的值：我个人发现斐波那契对最适合这个问题。例如

EGCD(121393, 75025) = 1; // With 24 iterations (or recursive calls).

看看这个“序列”：

对于斐波那契对，我们注意到：

121393 % 75025 == 121393 - 75025 == 46368.

因此，有121393 / 46368 = **2.61** (more or less);的递减因子

当然，最坏情况下的运行时间会使用 Small Oh Notation，因为最好情况下会使用 Omega(1)，换句话说，当被除数为 1000，除数为 2 时，会使用恒定时间。

由于我们有一个递减因子，我们可以把递推关系写成如下：

您必须知道，此运行时间与 EGCD 算法的迭代版本完全相同。

【讨论】：

【解决方案2】：

给定的复杂性是所需算术运算数量的粗略最坏情况界限：

a

sqrt(2)

c * log(a)

c

因式分解：为了测试一个数的素数或分解一个素数的平方，只需检查直到数平方根的因数。如果给定数字的因子更小，那么我们需要更少的可分性测试。因此，所需的分割数很容易受到sqrt(a)+sqrt(b) 的约束。由于a 和ld(a) < sqrt(a) 最多可以有ld(a) 因子，因此获得gcd 的剩余比较和乘法也受sqrt(a) 的约束。

【讨论】：