GCD函数递归运行时间（欧几里得算法）答案

【问题标题】：Running Time of GCD Function Recursively (Euclid Algorithm)GCD函数递归运行时间（欧几里得算法）
【发布时间】：2013-08-10 19:33:25
【问题描述】：

我只能找到有关如何递归和迭代地实现 gcd 函数的帖子，但是我找不到这个。我确定它在 Stackoverflow 上，但是我找不到它，所以如果它是重复的帖子，我深表歉意。

我在 Wikipedia (here) 上查看了分析，无法理解它们的重复关系。

考虑以下在 C 中递归实现的 GCD 函数的实现。它的前提条件是两个数字都必须是正数，但与运行时间无关。

int gcd( int const a, int const b ) {
  // Checks pre conditions.
  assert( a >= 0 );
  assert( b >= 0 );

  if ( a < b ) return gcd( b, a );

  if ( b == 0 ) return a;

  return gcd( b, a % b );
}

对运行时间进行分析，我发现每个操作都是 O(1)，因此我们知道到目前为止的递归关系是：T(n) = O(1) + ???。现在来分析递归调用，我不确定如何将 a (mod b) 解释为我的递归调用以正确说明我的递归关系。

【问题讨论】：

en.wikipedia.org/wiki/…

标签： c runtime time-complexity recurrence greatest-common-divisor

【解决方案1】：

在每个递归步骤中，gcd 会将其中一个参数减半（最多）。要看到这一点，请查看以下两种情况：

如果是b >= a/2，那么在下一步您将拥有a' = b 和b' < a/2，因为% 操作将从b 或更多a 中删除。

如果b < a/2，那么在下一步你将拥有a' = b 和b' < a/2，因为% 操作最多可以返回b - 1。

因此，在每个递归步骤中，gcd 将其中一个参数减半（最多）。这是 O(log(N)) 步，其中 N 是初始 a 和 b 的最大值。

【讨论】：

【解决方案2】：

要分析欧几里得 GCD，您应该使用斐波那契对：gcd(Fib[n], Fib[n - 1]) - 最坏情况。

如果你在上面测试你的欧几里得 GCD，你最终会得到 24 个递归调用。

如果您习惯于递归关系求解，您可能会对以下内容感兴趣：

通过这项研究，我们无法推断出任何被除数/除数对的确切迭代次数（因此使用了小的 Oh 符号），但它保证了这个上限是有效的。通常，下限为 Omega(1)（例如当除数为 1 时）。

【讨论】：

【解决方案3】：

简单的分析证明如下：

表明如果 Euclid(a,b) 的步数超过 N 步数，则 a>=F(n+1) 和 b>=F(n)，其中 F(i) 是 ith 斐波那契数字。
这可以通过归纳轻松完成。
显示F(n) &geq; φ^n-1，再次由感应。
使用第 1 步和第 2 步的结果，我们有 b &geq; F(n) &geq; φ^n-1
两边取对数， log_φb &geq; n-1。

因此证明，n &leq; 1+ 日志_φb

这个界限可以改进。
EUCLID(ka,kb) 中的递归调用次数与 EUCLID(a,b) 中的相同，其中 k 是某个整数。

因此，边界改进为 1 + log_φ( b / gcd(a,b) )。

【讨论】：