给定这 N 个事件的概率，如何确定 0 到 N 个事件发生的概率？

Question

第一次在这里发帖，所以如果我有什么错误，请告诉我，我很乐意改正它！

给定 N 个事件，每个事件都有单独的发生概率（从 0 到 100%），我想确定这些事件中 0 到 N 个一起发生的概率。

例如，如果我有事件 1、2、3、...、N 和 5（E1、E2、E3...、EN），其中特定事件发生的个体概率如下：

• E1 = 30% 的发生概率
• E2 = 40% 的发生概率

• E3 = 50% 发生概率

• ...

• EN = x% 发生概率

我想知道有的概率：

• 这些事件都没有发生
• 这些事件中的任何一种发生
• 其中任意 2 个事件发生
• 这些事件中的任何 3 个发生
• ...
• 所有 N 个事件发生

我知道发生 0 个事件是 (1-E1)(1-E2)...(1-EN)，发生所有 N 个事件是 E1*E2*...*E3。但是，我不知道如何计算其他可能性（发生 1 到 N-1 个事件）。

我一直在寻找一些可以解决这个问题的递归算法（二项式复合分布），但我还没有找到任何明确的公式可以解决这个问题。想知道你们中的任何人是否可以提供帮助！

提前致谢！

编辑：这些事件确实是独立的。

Answer 1

听起来像泊松二项式 wikipedia link.

有一个明确的递归公式，但要注意数值稳定性。

在哪里

Answer 2

类似下面的递归程序应该可以工作。

function ans = probability_vector(probabilities)
    if len(probabilities) == 0
        % No events can happen.
        ans = [1];
    elseif len(probabilities) == 1
        % 0 or 1 events can happen.
        ans = [1 - probabilities[1], probabilities[1]];
    else
        half = ceil(len(probabilities)/2);
        ans_half1 = probability_vector(probabilities[1: half]);
        ans_half2 = probability_vector(probabilities[half + 1: end]);
        ans = convolve(ans_half1, ans_half2)
    end
    return
end

如果p 是一个概率向量，那么p[i+1] 是i 发生事件的概率。

请参阅 http://matlabtricks.com/post-3/the-basics-of-convolution，了解有关完成工作的神奇 conv 运算符的说明。

Answer 3

您需要计算自己版本的帕斯卡三角形，并在每个位置使用概率（而不是计数）。第 0 行将是单个数字 1.00；第 1 行包含两个值，P(E1) 和 1-P(E1)。在其下方，在第 k 行中，每个位置是 P(Ek)[右上方条目] + (1-P(Ek))[左上方条目]。我为此推荐一个下三角矩阵，例如：

1.00
0.30 0.70
0.12 0.46 0.42  # These are 0.3*0.4 | 0.3*0.6 + 0.7*0.4 | 0.7*0.6
0.06 0.29 0.44 0.21  # 0.12*0.5 | 0.12*0.5 + 0.46*0.5 | ...

看看它是如何工作的？在矩阵 M 的数组/矩阵表示法中，给定向量 P 中的事件概率，这看起来像

M[k, i] = P[k] * M[k-1, i] +
          (1-P[k]) * M[k-1, i] + P[k] * M[k-1, i-1]

上面是一个很好的递归定义。请注意，我之前在下矩阵符号中的“右上方”引用只是上面的一行；左上方就是：第 k-1 行，第 i-1 列。

完成后，矩阵的底行将是获得 N、N-1、N-2、... 0 个事件的概率。如果您希望这些概率以相反的顺序排列，则只需切换系数 P[k] 和 1-P[k]

这是否会让您朝着解决方案迈进？

Answer 4

经过大量研究和此处答案的一些帮助，我想出了以下代码：

function [ prob_numSites ] = probability_activationSite( prob_distribution_site )

N = length(prob_distribution_site); % number of events
notProb = 1 - prob_distribution_site; % find probability of no occurrence
syms x; % create symbolic variable
prob_number = 1; % initializing prob_number to 1

for i = 1:N
    prob_number = prob_number*(prob_distribution_site(i)*x + notProb(i));
end

prob_number_polynomial = expand(prob_number); % expands the function into a polynomial
revProb_numSites = coeffs(prob_number_polynomial); % returns the coefficients of the above polynomial (ie probability of 0 to N events, where first coefficient is N events occurring, last coefficient is 0 events occurring)
prob_numSites = fliplr(revProb_numSites); % reverses order of coefficients

这接受一定数量的单个事件发生的概率，并返回 0 到 N 个事件发生概率的数组。

（This 回答很有帮助）。

Answer 5

这些答案对我来说似乎都不起作用/无法理解，所以我计算了它并自己在 python 中制作：

def combin(n, k):
   if k > n//2:
       k = n-k
   x = 1
   y = 1
   i = n-k+1
   while i <= n:
       x = (x*i)//y
       y += 1
       i += 1
   return x

# proba being the probability of each of the N evenments, each being different from one another.

for i in range(N,0,-1):
    print(i)
    if sums[i]> 0:
        continue
    print(combin(N,i))
    for j in itertools.combinations(proba, i):
        sums[i]+=np.prod(j) 
for i in range(N,0,-1):
    for j in range(i+1,N+1):
        icomb = combin(j,i)
        sums[str(i)] -= icomb*sums[str(j)]

数学不是超级简单：

令$C_{w_n}$为所有无序集$(i,j,k...n)$的集合

$i,j,k...n\in w$

$Co(i,proba) = sum{C_{w_i}} - sum_{u from i+1..n}{(u \choose i) sum{C_{w_u} }}$*

$Co(i, P)$ 是 i 事件发生的概率，给定 $P = {p_i...p_n}$，每个事件的伯努利概率。