曲线拟合建议答案

【问题标题】：Suggestion for curve fitting曲线拟合建议
【发布时间】：2013-06-12 11:33:02
【问题描述】：

我有这组数据：

X:              Y:       
0.          0.
0.001417162 0.0118
0.002352761 0.0128
0.003123252 0.0135
0.003866221 0.0138
0.004045083 0.0147
0.005544762 0.0151
0.006260197 0.0156
0.007195755 0.0157
0.007883656 0.0158
0.008805432 0.0159
0.009314465 0.0165
0.010566391 0.0168
0.011047891 0.0186
0.011666955 0.0177
0.012341036 0.0225
0.013193938 0.0399
0.013854235 0.087
0.014500764 0.1479
0.015381122 0.198
0.015601208 0.2586
0.01638525  0.3111
0.016976706 0.3693
0.017691939 0.42
0.018338382 0.4737
0.018861027 0.5223
0.01963122  0.5691
0.021625353 0.6183
0.020923988 0.6684
0.021377815 0.711
0.021927895 0.7551
0.022574222 0.7938
0.023633053 0.8382
0.023646804 0.8742
0.024279325 0.912
0.025131822 0.9495
0.0256543   0.9891
0.026094271 1.0215
0.026685464 1.0596
0.027345378 1.098
0.028101497 1.1328
0.028513912 1.1739
0.029077528 1.1997
0.029723601 1.2339
0.030355902 1.2741
0.031056901 1.3041
0.031428005 1.3383
0.032087723 1.3665
0.032692438 1.3983
0.033242157 1.4262
0.033846824 1.4589
0.034410239 1.4877
0.035248448 1.5222
0.035729364 1.5534
0.036430096 1.5861
0.037034618 1.6179
0.037694064 1.6536
0.038408425 1.6842
0.039067798 1.7121
0.039521096 1.7427
0.040207877 1.7763
0.04071607  1.8075
0.041279177 1.8381
0.04129291  1.8711
0.042707418 1.9065
0.043366544 1.9332
0.043860863 1.9659
0.044368889 1.9959
0.045055371 2.0202
0.045700624 2.0487
0.04626347  2.0796
0.047059639 2.1105
0.047540055 2.1339
0.048308673 2.1618
0.048857648 2.1849
0.049557546 2.2203
0.050229948 2.2425
0.052082233 2.2716
0.051355084 2.2983
0.051945039 2.3193
0.052466363 2.3475
0.053371748 2.3718
0.053851839 2.3937
0.054647359 2.4189
0.055072521 2.4372
0.055675941 2.4633
0.056306742 2.4882
0.057060898 2.5131
0.057691594 2.5332
0.058582712 2.5527
0.059007671 2.5755
0.059597094 2.5941
0.060172767 2.6115
0.065187502 2.6403
0.06131028  2.6592
0.061968042 2.6808
0.062598344 2.6991
0.063173791 2.7246
0.063790292 2.7441
0.064393043 2.7633
0.065091624 2.7795
0.065502522 2.8011
0.066433804 2.8212
0.066598135 2.8368
0.067351271 2.8545
0.067981104 2.8665
0.068610879 2.8845
0.069309041 2.9046
0.069870256 2.9214
0.070253498 2.9355
0.070828319 2.9499
0.07159467  2.9691
0.072046228 2.9856
0.072620893 2.9982
0.07326391  3.0108
0.073893183 3.0255
0.074467682 3.0387
0.075165218 3.0531
0.075862676 3.0654
0.076395973 3.0735
0.077230012 3.0879
0.077571798 3.0996
0.077968246 3.1116
0.078720058 3.1251
0.079485442 3.1332
0.080168736 3.1473
0.080797297 3.1524
0.081671703 3.1647
0.082518656 3.1761
0.082737205 3.1794
0.083242565 3.1911
0.083843476 3.207
0.084594523 3.2157
0.083993693 3.2217
0.086028058 3.2313
0.086806105 3.2412
0.087515804 3.2475
0.087979788 3.2562
0.089221428 3.2658
0.089289641 3.2727
0.090053572 3.2823
0.090599168 3.285
0.091485638 3.2988
0.092508299 3.3006
0.092794607 3.309
0.093585278 3.3177
0.094443969 3.3255
0.095029975 3.336
0.095752165 3.3381
0.096378886 3.3468
0.097182604 3.3498
0.097781901 3.3573
0.098585385 3.3612
0.099238967 3.3702
0.102192566 3.372
0.100464189 3.3816
0.101226388 3.3879
0.101961246 3.396
0.102519116 3.4038
0.103335387 3.4113
0.103920292 3.4134
0.104777107 3.4206
0.105416212 3.423
0.105932869 3.4308
0.106952407 3.4353
0.107550426 3.4431
0.108284246 3.4479
0.108759804 3.4539
0.109439081 3.4587
0.110118251 3.4662
0.11096027  3.4701
0.111802122 3.4749
0.112182257 3.4857
0.113132445 3.4902
0.113878868 3.4929
0.114530181 3.5028
0.11465229  3.5076
0.116063069 3.513
0.116619106 3.5181
0.117378448 3.5247
0.118246089 3.5295
0.118869589 3.5286
0.119479439 3.5364
0.120292424 3.5451
0.120807227 3.5511
0.121728283 3.5565
0.122283519 3.5625
0.123068837 3.5622
0.123745705 3.5691
0.124544254 3.5775
0.125247919 3.5796
0.125924395 3.5868
0.126614273 3.5892
0.128683133 3.5958
0.127993643 3.5991
0.128602023 3.6057
0.129507645 3.6093
0.130115772 3.6132
0.130669753 3.6156
0.131682911 3.6222
0.132263658 3.6234
0.132911821 3.6288
0.133870342 3.6291
0.136717348 3.6336
0.13504451  3.6396
0.135692157 3.6372
0.13621828  3.6432
0.137068001 3.6465
0.141030546 3.6522
0.138470251 3.6501
0.139009423 3.6567
0.140181824 3.6615
0.140532116 3.6633
0.141124835 3.6588
0.141717448 3.6675
0.14257924  3.6711
0.143319661 3.6741
0.143844585 3.6729
0.144813453 3.6753
0.145243967 3.678
0.1472209   3.6849
0.14672342  3.6879
0.147301565 3.6888
0.147866163 3.6933
0.148403782 3.6927
0.149277216 3.6972
0.149962355 3.7011
0.151922897 3.7077
0.151426165 3.7023
0.152070559 3.7089
0.153251595 3.7107
0.153587034 3.7134
0.15429804  3.7191
0.154861361 3.7191
0.155706144 3.7221
0.157086785 3.7206
0.157086785 3.7272
0.156925966 3.7269
0.158480178 3.7335
0.15912306  3.7272
0.159618519 3.7356
0.160381629 3.7359
0.161171304 3.7386
0.161853731 3.7377
0.162415608 3.7398
0.163151233 3.7437
0.163993625 3.7443
0.165062969 3.7533
0.165330242 3.7509
0.166065112 3.7512
0.166866568 3.7569
0.167494215 3.7635
0.168108371 3.7569
0.168829162 3.7638
0.169536423 3.7626
0.173429745 3.7581
0.171070418 3.7617
0.171803762 3.7653
0.172790131 3.7635
0.172936723 3.7644
0.174029244 3.7695
0.174761783 3.7701
0.175334355 3.7668
0.176173017 3.7704
0.176705362 3.7722
0.177490375 3.7701
0.178261854 3.774
0.178979922 3.7797
0.178793775 3.78
0.180774223 3.7887
0.182394664 3.8301
0.18451827  3.8169
0.186282158 3.8067
0.186772642 3.7731
0.188058046 3.7782
0.188587916 3.7734
0.189395747 3.7749
0.189885613 3.7707
0.190560674 3.7734
0.191447234 3.7752
0.192280569 3.7713
0.193007849 3.7704
0.193946376 3.7701
0.194329613 3.7734
0.195188367 3.7647
0.195716677 3.7644
0.196416507 3.7683
0.197142527 3.7695
0.197709986 3.7596
0.198923623 3.7662
0.199714786 3.7617
0.200189355 3.7626
0.2011382   3.7683
0.201915434 3.7665
0.202310538 3.7599
0.203258508 3.7656
0.204153451 3.7569
0.204903352 3.753
0.205311089 3.7512
0.206192075 3.753
0.207033292 3.7461
0.207966146 3.7539
0.208478393 3.7473
0.209318747 3.7425
0.210119413 3.7455
0.21077548  3.7443
0.21140512  3.7425
0.21234924  3.7443
0.213122589 3.7461
0.213751552 3.7443
0.214498207 3.7422
0.215192234 3.7425
0.216030006 3.7395
0.216762788 3.7437
0.217508397 3.7377
0.218096851 3.7446
0.223098604 3.7383
0.219547672 3.7386
0.220187807 3.7395
0.220906094 3.7386
0.221872127 3.7368
0.222381072 3.7404
0.223111647 3.7374
0.223789808 3.7365
0.224207027 3.7278
0.225288796 3.7359
0.225862032 3.7326
0.226487197 3.7368
0.226396039 3.7302
0.227775995 3.7308
0.228426593 3.7287
0.229115997 3.7278
0.229063975 3.7269
0.230312139 3.726
0.23101389  3.7104

plot(x,y)

能否请您给我一些模型建议（我已经尝试过多项式，但要么拟合不好，要么过拟合）。谢谢！

【问题讨论】：

因为我正在磨练我的鞭策技巧，所以我不厌其烦地将您的数据复制到一个文件中。但对其他人来说，展示一个情节会很好。
你试过这个：creativemachines.cornell.edu/eureqa 符号回归方法吗？不是R，但看起来很酷...有一个R 方法，我已经草绘了here
您应该首先做出一个重要的选择。您想查看您的数据是否适合建议的形状（例如指数或 x^n），还是想创建一个拟合函数来预测未来行为？在第二种情况下，您需要外推还是仅内插？如果您只想要一个良好的插值拟合，请使用样条曲线。如果你想要一个好的推断，你就会遇到麻烦:-(。显然，在第一种情况下，使用你“希望”的拟合函数并评估错误参数。我的观点是：你如何拟合很大程度上取决于你想知道什么。
@CarlWitthoft：是的，我同意你的看法。就我而言，我只想得到一个适合数据并且可以使用的函数，所以我必须知道函数的方程。

标签： r curve-fitting

【解决方案1】：

只是在 Python/Numpy 中闲逛了几分钟，看起来你想要一个类似的公式

Yfit(x) = Ymax * (1 - exp(-(x-x0)/a) )

x0 是数据从零开始起飞的地方。看起来 x0 = 0.012 给予或接受一点。 Ymax 是最大值。参数 a 设置曲线上升的速度，看起来你想要 a = 0.007 左右。

多项式对于任何在有趣部分之前或之后趋于平稳并保持稳定的数据都是不利的。多项式喜欢摆动，就像一条蛇试图穿过排成一排的槌球小门。即使松散地与最小二乘或其他拟合，多项式也不喜欢平坦度。但形状看起来确实像一个常数减去一个衰减指数——在电子学和物理学中很常见。

最初的零值，我认为是没有意义的，不需要拟合。你得到的 Yfit 值可以在负数时被裁剪为零，用于绘图和比较。

如果 exp(-(x-x0)/a) 不够好，您可以尝试其他快速衰减为零的函数，例如 1/(1+x^p) 用于某些幂 p>= 2，或者使用高斯exp(-(x-x0)^2 / a^2)

我实际上看到了一条轻微的曲线 - Y 值上升到最大值，然后稍微回落。也许在您的模型中添加一个二次项，例如：

Y_extra_term(x) = ((x-xmax)/b)^2

其中 xmax 是 x 值，其中 y 为最大值。（顺便说一句，我不是 R 专家，所以请使用正确的语法，而不是我写的任何东西。）

【讨论】：

嗯，这取决于一个人是否希望使用所有数据或应用一个权重集（参考您关于忽略 (0,0) 的评论）；以及是否希望强制起源。