我有 a,b 点的离散规则网格及其对应的 c 值，我进一步对其进行插值以获得平滑曲线。现在根据插值数据，我还想创建一个用于曲线拟合的多项式方程。如何在多项式中拟合 3D 图？
我尝试在 MATLAB 中执行此操作。我在 MATLAB (r2010a) 中使用曲面拟合工具箱对 3 维数据进行曲线拟合。但是，如何在 MATLAB/MAPLE 或任何其他软件中找到最适合一组数据的公式。有什么建议吗？同样最有用的是一些真实的代码示例，PDF文件，网络等。
这只是我数据的一小部分。
a = [ 0.001 .. 0.011];
b = [1, .. 10];
c = [ -.304860225, .. .379710865];
提前致谢。
【问题讨论】：
标签： matlab curve-fitting maple mplot3d
要将曲线拟合到一组点上，我们可以使用ordinary least-squares 回归。 MathWorks 有一个 solution page 描述了这个过程。
作为一个例子，让我们从一些随机数据开始：
% some 3d points
data = mvnrnd([0 0 0], [1 -0.5 0.8; -0.5 1.1 0; 0.8 0 1], 50);
正如@BasSwinckels 所示，通过构造所需的design matrix，您可以使用mldivide 或pinv 到solve the overdetermined system，表示为Ax=b：
% best-fit plane
C = [data(:,1) data(:,2) ones(size(data,1),1)] \ data(:,3); % coefficients
% evaluate it on a regular grid covering the domain of the data
[xx,yy] = meshgrid(-3:.5:3, -3:.5:3);
zz = C(1)*xx + C(2)*yy + C(3);
% or expressed using matrix/vector product
%zz = reshape([xx(:) yy(:) ones(numel(xx),1)] * C, size(xx));
接下来我们将结果可视化：
% plot points and surface
figure('Renderer','opengl')
line(data(:,1), data(:,2), data(:,3), 'LineStyle','none', ...
'Marker','.', 'MarkerSize',25, 'Color','r')
surface(xx, yy, zz, ...
'FaceColor','interp', 'EdgeColor','b', 'FaceAlpha',0.2)
grid on; axis tight equal;
view(9,9);
xlabel x; ylabel y; zlabel z;
colormap(cool(64))
如前所述，我们可以通过将更多项添加到自变量矩阵（Ax=b 中的A）来获得高阶多项式拟合。
假设我们要拟合具有常数项、线性项、交互项和平方项（1、x、y、xy、x^2、y^2）的二次模型。我们可以手动完成：
% best-fit quadratic curve
C = [ones(50,1) data(:,1:2) prod(data(:,1:2),2) data(:,1:2).^2] \ data(:,3);
zz = [ones(numel(xx),1) xx(:) yy(:) xx(:).*yy(:) xx(:).^2 yy(:).^2] * C;
zz = reshape(zz, size(xx));
Statistics Toolbox 中还有一个辅助函数 x2fx，可帮助构建几个模型订单的设计矩阵：
C = x2fx(data(:,1:2), 'quadratic') \ data(:,3);
zz = x2fx([xx(:) yy(:)], 'quadratic') * C;
zz = reshape(zz, size(xx));
最后，John D'Errico 在 File Exchange 上提供了一个出色的函数 polyfitn，它允许您指定所涉及的各种多项式顺序和项：
model = polyfitn(data(:,1:2), data(:,3), 2);
zz = polyvaln(model, [xx(:) yy(:)]);
zz = reshape(zz, size(xx));
【讨论】：
文件交换上可能有一些更好的功能，但手动完成的一种方法是：
x = a(:); %make column vectors
y = b(:);
z = c(:);
%first order fit
M = [ones(size(x)), x, y];
k1 = M\z;
%least square solution of z = M * k1, so z = k1(1) + k1(2) * x + k1(3) * y
同样，您可以进行二次拟合：
%second order fit
M = [ones(size(x)), x, y, x.^2, x.*y, y.^2];
k2 = M\z;
对于您提供的有限数据集，这似乎存在数值问题。输入help mldivide了解更多详情。
要在一些常规网格上进行插值，您可以这样做：
ngrid = 20;
[A,B] = meshgrid(linspace(min(a), max(a), ngrid), ...
linspace(min(b), max(b), ngrid));
M = [ones(numel(A),1), A(:), B(:), A(:).^2, A(:).*B(:), B(:).^2];
C2_fit = reshape(M * k2, size(A)); % = k2(1) + k2(2)*A + k2(3)*B + k2(4)*A.^2 + ...
%plot to compare fit with original data
surfl(A,B,C2_fit);shading flat;colormap gray
hold on
plot3(a,b,c, '.r')
可以使用下面的 TryHard 给出的公式进行三阶拟合，但是当阶数增加时，公式很快就会变得乏味。最好写一个函数来构造M给定x、y和order，如果你必须不止一次这样做的话。
【讨论】：
M = [ones(size(x)), x, y, x.^2, x.*y, y.^2, x.^3, x.^2.*y, x.*y.^2, y.^3] 做得很好......
a 的 2 个不同值（0.001 和 0.0011），所以试图用二阶多项式拟合它是不明确的......
这听起来更像是一个哲学问题，而不是具体的实现，特别是比特 - “如何找到最适合一组数据的公式？”根据我的经验，这是一个选择，你必须根据你想要达到的目标做出选择。
对您而言，“最佳”的定义是什么？对于数据拟合问题，您可以继续添加越来越多的多项式系数并获得更好的 R^2 值......但最终会“过度拟合”数据。高阶多项式的一个缺点是超出了您用来拟合响应面的样本数据范围的行为 - 它可能会迅速朝某个疯狂的方向发展，这可能不适合您尝试建模的任何内容.
您是否深入了解您要适配的系统/数据的物理行为？这可以用作用于创建数学模型的方程组的基础。我的建议是使用最经济（简单）的模型。
【讨论】：